□投稿者/ らすかる 付き人(55回)-(2021/06/03(Thu) 22:33:34)
 | 全く違う方法でも解いてみました。
100までの素数は
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
全部1足すと
3,4,6,8,12,14,18,20,24,30,32,38,42,44,48,54,60,62,68,72,74,80,84,90,98
素因数分解すると
3=3
4=2^2
6=2*3
8=2^3
12=2^2*3
14=2*7
18=2*3^2
20=2^2*5
24=2^3*3
30=2*3*5
32=2^5
38=2*19
42=2*3*7
44=2^2*11
48=2^4*3
54=2*3^3
60=2^2*3*5
62=2*31
68=2^2*17
72=2^3*3^2
74=2*37
80=2^4*5
84=2^2*3*7
90=2*3^2*5
98=2*7^2
2乗以上がない素因数(5,11,17,19,31,37)を含む数は、
同じ素因数を持つもの同士でしか等比数列をなし得ない。
素因数11,17,19,31,37を含むものは1個ずつしかないため、
38,44,62,68,74が等比数列に使われることはない。
素因数5を含むものは
20=2^2*5
30=2*3*5
60=2^2*3*5
80=2^4*5
90=2*3^2*5
の5個
このうち素因数3を含まないものと1個だけ含むものはそれぞれ2個しかなく、
3^2を含むものが90しかないため、自動的にr=90と決まる。
しかしqを素因数3を1個含む30,60のどちらにしてもpが存在せず不適。
よって素因数5を含む数の等比数列は存在しない。
素因数7を含むものは
14=2*7
42=2*3*7
84=2^2*3*7
98=2*7^2
の4個
3^1を含むものが2個、3を含まないものが2個なので
この4個の中だけで等比数列をなすことはないが、
7^0の項を追加すると等比数列をなす可能性がある。
一つは2*7^2と決まり、
もう一つを2*7とすると残りは2となり存在しない
もう一つを2*3*7とすると残りは2*3^2となり
(2*3^2,2*3*7,2*7^2)→(18,42,98)→(17,41,97)が適解
もう一つを2^2*3*7とすると残りは2^3*3^2となり
(2^3*3^2,2^2*3*7,2*7^2)→(72,84,98)→(71,83,97)が適解
残りは
3=3
4=2^2
6=2*3
8=2^3
12=2^2*3
18=2*3^2
24=2^3*3
32=2^5
48=2^4*3
54=2*3^3
72=2^3*3^2
の11個で素因数はすべて2と3
素因数の個数で表を作ると
□○①②③④⑤←2^n
○□□■■□■
①■■■■■□
②□■□■□□
③□■□□□□
↑
3^n
この表で3つが等間隔で直線上に並んでいるものは
横
3,2*3,2^2*3 → 3,6,12 → 2,5,11
3,2^2*3,2^4*3 → 3,12,48 → 2,11,47
2*3,2^2*3,2^3*3 → 6,12,24 → 5,11,23
2^2*3,2^3*3,2^4*3 → 12,24,48 → 11,23,47
縦
2*3,2*3^2,2*3^3 → 6,18,54 → 5,17,53
2^3,2^3*3,2^3*3^2 → 8,24,72 → 7,23,71
斜め45°
2^3,2^2*3,2*3^2 → 8,12,18 → 7,11,17
2^5,2^4*3,2^3*3^2 → 32,48,72 → 31,47,71
他の向き
2*3^2,2^3*3,2^5 → 18,24,32 → 17,23,31
従って解は以前と同じく
(p,q,r)=(2,5,11),(2,11,47),(5,11,23),(5,17,53),(7,11,17),(7,23,71),
(11,23,47),(17,23,31),(17,41,97),(31,47,71),(71,83,97)
の11個。
# 全く違う方法で同じ答えが得られましたので、
# おそらく合っていると思います。
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