| ■50828 / 2階層) |
積と和が一致する自然数の組
|
□投稿者/ らすかる 付き人(57回)-(2021/06/08(Tue) 21:29:02)
 | n=2のときは2+2=2×2=4は誰でも知っていますね。
以下a[1]≦a[2]≦…≦a[n]とします。
n=3のとき
もしa[1]≧2だとするとa[2]≧2なので(積)≧4a[3]
しかしa[1]≦a[2]≦a[3]から(和)≦3a[3]なので(和)＜(積)となり成り立ちません。
よってa[1]=1です。
このとき1+a[2]+a[3]=a[2]a[3]から(a[2]-1)(a[3]-1)=2なのでa[2]=2,a[3]=3と決まります。
n=4のとき
n=3のときと同様、もしa[1]≧2だとすると(積)≧8a[4]、(和)≦4a[4]となり不適なのでa[1]=1
a[1]=1として、もしa[2]≧2だとすると(積)≧4a[4]、(和)＜4a[4]（∵a[1]＜a[2]）となり不適なのでa[2]=1
このとき1+1+a[3]+a[4]=a[3]a[4]から(a[3]-1)(a[4]-1)=3なのでa[3]=2,a[4]=4と決まります。
勘が良ければこの辺で
2,2
1,2,3
1,1,2,4
から
1,1,1,…,1,2,n
で成り立ちそうだと気づきますが、気づかなければもう一つ
n=5のとき
a[1]≧2のとき(積)≧16a[5]、(和)≦5a[5]で不適
a[1]=1,a[2]≧2のとき(積)≧8a[5]、(和)＜5a[5]で不適
a[1]=a[2]=1,a[3]≧2のとき(積)≧4a[5]、(和)≦4a[5]から(1,1,2,2,2)で成り立つ
a[1]=a[2]=a[3]=1の場合は(a[4]-1)(a[5]-1)=4からa[4]=2,a[5]=5またはa[4]=a[5]=3
よってn=5のときの解は
(1,1,2,2,2),(1,1,1,3,3),(1,1,1,2,5)の3通り
ここまでやれば
(a[2]-1)(a[3]-1)=2
(a[3]-1)(a[4]-1)=3
(a[4]-1)(a[5]-1)=4
という計算をしたことから、同様の計算で行けることに気づくと思います。
つまりn≦4では解は1組ですが、n≧5では解は1つとは限りません。
|
|
上記ツリーを一括表示 / 上記ツリーをトピック表示