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■50417
/ 親記事)
弘前大学 2010年度 理系 過去問です。
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□投稿者/ ゆゆ
一般人(1回)-(2020/07/22(Wed) 00:54:03)
弘前大学 2010年度 理系 過去問です。
答えと回答法を知りたいです。
よろしくお願いします。
問題
座標平面において,原点を中心とする半径 3 の円を C,点 (0, -1) を中心とする半径 8 の円をD とする.C と D にはさまれた領域を E とする.0 <= k <= 3 とする.直線 l と原点との距離が一定値 k であるように l が動くとき,l と E の共通部分の長さの最小値を求めよ.
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■50425
/ ResNo.1)
Re[1]: 弘前大学 2010年度 理系 過去問です。
▲
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□投稿者/ X
一般人(2回)-(2020/08/05(Wed) 19:24:55)
2020/08/05(Wed) 19:28:27 編集(投稿者)
lとCとの交点をP,Q、lとDとの交点をT,Uとし
点(0,-1)を点Aとします。
今、原点からlに下した垂線の足をHとすると
条件から
OH=k
∴△OHPにおいて三平方の定理により
PH=√(OP^2-OH^2)=√(9-k^2) (A)
△OPH≡△OQHに注意すると
PQ=2PH=2√(9-k^2) (B)
さて、条件から
H(kcosθ,ksinθ)
(0≦θ<2π (P))
と置くことができるのでlの方程式は
(x-kcosθ)cosθ+(y-ksinθ)sinθ=0
整理をして
xcosθ+ysinθ-k=0
∴点Aからlに下した垂線の足をIとすると
点と直線との間の距離の公式により
AI=|-sinθ-k|/√{(cosθ)^2+(sinθ)^2}
=|sinθ+k|
∴(B)を求めるのと同様な過程により
TU=2√{64-|sinθ+k|^2}
=2√{64-(sinθ+k)^2} (C)
(B)(C)より、lとEの共通部分の長さをLとすると
L=TU-PQ=2√{64-(sinθ+k)^2}-2√(9-k^2)
∴(P)よりLはθ=π/2のときに最小値である
2√{64-(1+k)^2}-2√(9-k^2)
を取ります。
以上から求める最小値は
2√{64-(1+k)^2}-2√(9-k^2)
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■No50425に返信(Xさんの記事) > 2020/08/05(Wed) 19:28:27 編集(投稿者) > > lとCとの交点をP,Q、lとDとの交点をT,Uとし > 点(0,-1)を点Aとします。 > > 今、原点からlに下した垂線の足をHとすると > 条件から > OH=k > ∴△OHPにおいて三平方の定理により > PH=√(OP^2-OH^2)=√(9-k^2) (A) > △OPH≡△OQHに注意すると > PQ=2PH=2√(9-k^2) (B) > > さて、条件から > H(kcosθ,ksinθ) > (0≦θ<2π (P)) > と置くことができるのでlの方程式は > (x-kcosθ)cosθ+(y-ksinθ)sinθ=0 > 整理をして > xcosθ+ysinθ-k=0 > ∴点Aからlに下した垂線の足をIとすると > 点と直線との間の距離の公式により > AI=|-sinθ-k|/√{(cosθ)^2+(sinθ)^2} > =|sinθ+k| > ∴(B)を求めるのと同様な過程により > TU=2√{64-|sinθ+k|^2} > =2√{64-(sinθ+k)^2} (C) > (B)(C)より、lとEの共通部分の長さをLとすると > L=TU-PQ=2√{64-(sinθ+k)^2}-2√(9-k^2) > ∴(P)よりLはθ=π/2のときに最小値である > 2√{64-(1+k)^2}-2√(9-k^2) > を取ります。 > 以上から求める最小値は > 2√{64-(1+k)^2}-2√(9-k^2)
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