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■50482 / 親記事)  3次元空間の点
  
□投稿者/ まるた 一般人(1回)-(2020/08/29(Sat) 17:52:16)
    3次元空間の点(x,y,z)について
    x+y+z<xyz または x^2+y^2+z^2≧xyz
    が成り立つことの証明を教えて下さい
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■50484 / ResNo.1)  Re[1]: 3次元空間の点
□投稿者/ らすかる 一般人(12回)-(2020/08/29(Sat) 23:37:51)
    どちらも成り立たないと仮定すると
    x+y+z≧xyz かつ x^2+y^2+z^2<xyz
    を満たす(x,y,z)が存在することになる。
    これが成り立つならば、x,y,zすべて絶対値をとって正にしても成り立つので、
    x,y,zが正で成り立つものが存在しないことが言えれば十分。
    よってx,y,zは正と仮定する。
    三変数の相加相乗平均から
    x^2+y^2+z^2≧3[3]√(x^2y^2z^2)=3(xyz)^(2/3)
    なので
    xyz>x^2+y^2+z^2≧3(xyz)^(2/3)
    xyz>3(xyz)^(2/3) を解くと xyz>27 … (1)

    x+y+z≧xyz かつ x^2+y^2+z^2<xyz から
    x^2+y^2+z^2<x+y+z
    整理して
    (x-1/2)^2+(y-1/2)^2+(z-1/2)^2<3/4
    3/4<1なので、少なくとも
    (x-1/2)^2+(y-1/2)^2+(z-1/2)^2<1
    が成り立たなければならない。
    このとき0<x<3/2かつ0<y<3/2かつ0<z<3/2となるが、
    これは(1)を満たさないので矛盾。
    従ってx+y+z≧xyz かつ x^2+y^2+z^2<xyz
    を満たす(x,y,z)は存在しないので、
    x+y+z<xyz または x^2+y^2+z^2≧xyz
    が常に成り立つ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■50487 / ResNo.2)  Re[2]: 3次元空間の点
□投稿者/ まるた 一般人(2回)-(2020/08/30(Sun) 18:36:20)
    ありがとうございました
    よく分かりました

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