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■50662
/ 親記事)
log(1+x)<√x
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□投稿者/ hulu
一般人(1回)-(2021/03/09(Tue) 13:08:44)
全てのx>0に対してlog(1+x)<a√xが成り立つような定数aの最小値が(9/10)^2未満であることを示したいです。
よろしくお願いします。
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■50663
/ ResNo.1)
Re[1]: log(1+x)<√x
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□投稿者/ らすかる
一般人(16回)-(2021/03/10(Wed) 04:20:14)
全てのx>0に対してlog(1+x)<a√xが成り立つようなaの範囲は、
y=log(1+x)とy=k√xが接するとしてk<aと表せますので、
「定数aの最小値」は存在しません。
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■50664
/ ResNo.2)
Re[2]: log(1+x)<√x
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□投稿者/ hulu
一般人(2回)-(2021/03/10(Wed) 07:51:39)
kが(9/10)^2未満であることは示せるでしょうか?
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■50665
/ ResNo.3)
Re[3]: log(1+x)<√x
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□投稿者/ らすかる
一般人(17回)-(2021/03/10(Wed) 13:10:08)
2021/03/10(Wed) 21:28:03 編集(投稿者)
はい、示せます。
f(x)=log(1+x), g(x)=k√x として
y=f(x)とy=g(x)がx=t(t>0)で接するとすると
f(t)=g(t)からlog(1+t)=k√t
f'(t)=g'(t)から1/(1+t)=k/(2√t)すなわち(1+t)k=2√t
2式からkを消去して整理すると
log(1+t)=2t/(1+t)
h(x)=2x/(1+x)とおくとh'(x)=2/(1+x)^2
x<1のときh'(x)>f'(x)
x=1のときh'(x)=f'(x)
x>1のときh'(x)<f'(x)
f(0)=h(0)=0, f(1)=log2<1=h(1), f(7)=log8>2>h(7)だから
y=f(x)とy=h(x)は1<x<7の範囲に交点(t,log(1+t))がただ1つ存在し、
0<x<tでf(x)<h(x)、t<xでf(x)>h(x)となる。
34/7=1700/350<1701/350=243/50=4.86
(34/7)^4<4.86^4=557.88550416<558
(34/7)^17<558^4×4.86=471165046810.56
e>2.718
e^3>2.718^3=20.079290232>20
e^27>20^9=512000000000
∴(34/7)^17<e^27
34/7<e^(27/17)
1+27/7<e^{2(27/7)/(1+27/7)}
よってx=27/7のとき1+x<e^(2x/(1+x))なので
log(1+x)<2x/(1+x)すなわちf(x)<h(x)
f(x)<h(x)⇔0<x<tだったからt>27/7
t>27/7から
6561t>177147/7>25306
6561t-13439>11867
(6561t-13439)^2>11867^2=140825689>137560000
(6561t-13439)^2-137560000>0
43046721t^2-176346558t+43046721>0
6561t^2-26878t+6561>0
6561t^2+13122t+6561>40000t
6561(1+t)^2>40000t
4t/(1+t)^2<6561/10000
2√t/(1+t)<81/100
k=2√t/(1+t)だったから
k<81/100=(9/10)^2
(追記)
ちなみにkはランベルトのW関数を使うと
k=√{1-{W(-2/e^2)+1}^2}
のように具体的な形で書き表すことができます。
W(-2/e^2)=-0.40637573995995990767…なので
k=0.80474234254941181120…となり、確かに
k<81/100=(9/10)^2となっています。
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■50666
/ ResNo.4)
Re[4]: log(1+x)<√x
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□投稿者/ hulu
一般人(3回)-(2021/03/11(Thu) 20:11:47)
ありがとうございました。
計算が丁寧でとてもよく理解できました。
解決済み!
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■No50665に返信(らすかるさんの記事) > 2021/03/10(Wed) 21:28:03 編集(投稿者) > > はい、示せます。 > > f(x)=log(1+x), g(x)=k√x として > y=f(x)とy=g(x)がx=t(t>0)で接するとすると > f(t)=g(t)からlog(1+t)=k√t > f'(t)=g'(t)から1/(1+t)=k/(2√t)すなわち(1+t)k=2√t > 2式からkを消去して整理すると > log(1+t)=2t/(1+t) > h(x)=2x/(1+x)とおくとh'(x)=2/(1+x)^2 > x<1のときh'(x)>f'(x) > x=1のときh'(x)=f'(x) > x>1のときh'(x)<f'(x) > f(0)=h(0)=0, f(1)=log2<1=h(1), f(7)=log8>2>h(7)だから > y=f(x)とy=h(x)は1<x<7の範囲に交点(t,log(1+t))がただ1つ存在し、 > 0<x<tでf(x)<h(x)、t<xでf(x)>h(x)となる。 > > 34/7=1700/350<1701/350=243/50=4.86 > (34/7)^4<4.86^4=557.88550416<558 > (34/7)^17<558^4×4.86=471165046810.56 > e>2.718 > e^3>2.718^3=20.079290232>20 > e^27>20^9=512000000000 > ∴(34/7)^17<e^27 > 34/7<e^(27/17) > 1+27/7<e^{2(27/7)/(1+27/7)} > よってx=27/7のとき1+x<e^(2x/(1+x))なので > log(1+x)<2x/(1+x)すなわちf(x)<h(x) > f(x)<h(x)⇔0<x<tだったからt>27/7 > > t>27/7から > 6561t>177147/7>25306 > 6561t-13439>11867 > (6561t-13439)^2>11867^2=140825689>137560000 > (6561t-13439)^2-137560000>0 > 43046721t^2-176346558t+43046721>0 > 6561t^2-26878t+6561>0 > 6561t^2+13122t+6561>40000t > 6561(1+t)^2>40000t > 4t/(1+t)^2<6561/10000 > 2√t/(1+t)<81/100 > k=2√t/(1+t)だったから > k<81/100=(9/10)^2 > > (追記) > ちなみにkはランベルトのW関数を使うと > k=√{1-{W(-2/e^2)+1}^2} > のように具体的な形で書き表すことができます。 > W(-2/e^2)=-0.40637573995995990767…なので > k=0.80474234254941181120…となり、確かに > k<81/100=(9/10)^2となっています。 >
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