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■50751 / 親記事)

　単位円と三角形

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□投稿者/ 複素数一般人(1回)-(2021/04/23(Fri) 16:26:43)

絶対値が1の相異なる3つの複素数α,β,γが複素数平面上で表す点をそれぞれA,B,Cとします。
点Aから直線BCにおろした垂線の足に対応する複素数をα,β,γで表すにはどうすればいいのでしょうか？

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■50752 / ResNo.1)

　Re[1]: 単位円と三角形

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□投稿者/ 極限一般人(9回)-(2021/04/24(Sat) 03:32:10)

複素数は積・商を忘れてやれば、「2次元の実ベクトル」と見ることもできます。

ベクトルを勉強したときに習ったとおり、直線BC上の点は
tβ + (1-t)γ (ただしtは実数)
とかけます。（ちなみに積を忘れると書いたのは「一般の複素数同士の積」の話で、「実数倍（スカラー倍、実数と複素数の積）」まで忘れると2次元実ベクトルですらなくなります）

この問題では「垂直（垂線）」が登場するので、ベクトルの内積を考えたくなります。
準備として複素数xと複素数yの（実2次元ベクトルしての）内積がどうなるかを確認しましょう。

複素数xを実2次元ベクトルと思うとは、「複素数xを実2次元ベクトル(Re(x), Im(x))と思う」と言い換えることもできます。よってベクトルで習った内積の定義をそのまま適用すれば
x * y = Re(x)Re(y) + Im(x)Im(y)
です。ここで「*」は（複素数の積ではなく）内積を表す記号として使っています。

このままでも別にいいのですが、最終形にReやImのような記号が乱発されるよりは、複素共役の記号で書き直すほうがスッキリすると個人的には感じます。上付きバーが書けないのでここでは複素数xの複素共役をBar(x)とかくことにします。つまり
Bar(x) = Re(x) - iIm(x)
Bar(y) = Re(y) - iIm(y)
です。よって内積は
x * y = (xBar(y) + Bar(x)y) / 2
と書き直されます。

ここまで準備すれば、（計算量はともかく）垂線の足を求めるは簡単です。
先に書いたとおり垂線の足をhとすると、これは直線BC上にあるので
h = tβ + (1-t)γ (tは実数)
という形でかけます。tは内積条件
(α - h) * (β - γ) = 0
から決まるという具合です。

先に準備した複素共役系の内積式を使って計算をすすめていきましょう。
(α - h) * (β - γ) = 0
(α - tβ - (1-t)γ) * (β - γ) = 0
(α - tβ - (1-t)γ)Bar(β - γ) + Bar(α - tβ - (1-t)γ)(β - γ) = 0 (分母の2は払っています)
(α - γ)Bar(β - γ) + Bar(α - γ)(β - γ) = 2t(β - γ)Bar(β- γ) (tを含む項を右辺に。)

これでtは求まったので、hをα,β,γ（とその共役）の形でかけます。思ったより項の数が増えそうなのでここまでにします。

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Comment/ 通常モード->　図表モード-> (適当に改行して下さい/半角10000文字以内) ■No50752に返信(極限さんの記事) > 複素数は積・商を忘れてやれば、「2次元の実ベクトル」と見ることもできます。 > > ベクトルを勉強したときに習ったとおり、直線BC上の点は > tβ + (1-t)γ (ただしtは実数) > とかけます。（ちなみに積を忘れると書いたのは「一般の複素数同士の積」の話で、「実数倍（スカラー倍、実数と複素数の積）」まで忘れると2次元実ベクトルですらなくなります） > > > この問題では「垂直（垂線）」が登場するので、ベクトルの内積を考えたくなります。 > 準備として複素数xと複素数yの（実2次元ベクトルしての）内積がどうなるかを確認しましょう。 > > 複素数xを実2次元ベクトルと思うとは、「複素数xを実2次元ベクトル(Re(x), Im(x))と思う」と言い換えることもできます。よってベクトルで習った内積の定義をそのまま適用すれば > x * y = Re(x)Re(y) + Im(x)Im(y) > です。ここで「」は（複素数の積ではなく）内積を表す記号として使っています。 > > このままでも別にいいのですが、最終形にReやImのような記号が乱発されるよりは、複素共役の記号で書き直すほうがスッキリすると個人的には感じます。上付きバーが書けないのでここでは複素数xの複素共役をBar(x)とかくことにします。つまり > Bar(x) = Re(x) - iIm(x) > Bar(y) = Re(y) - iIm(y) > です。よって内積は > x y = (xBar(y) + Bar(x)y) / 2 > と書き直されます。 > > ここまで準備すれば、（計算量はともかく）垂線の足を求めるは簡単です。 > 先に書いたとおり垂線の足をhとすると、これは直線BC上にあるので > h = tβ + (1-t)γ (tは実数) > という形でかけます。tは内積条件 > (α - h) * (β - γ) = 0 > から決まるという具合です。 > > > 先に準備した複素共役系の内積式を使って計算をすすめていきましょう。 > (α - h) * (β - γ) = 0 > (α - tβ - (1-t)γ) * (β - γ) = 0 > (α - tβ - (1-t)γ)Bar(β - γ) + Bar(α - tβ - (1-t)γ)(β - γ) = 0 (分母の2は払っています) > (α - γ)Bar(β - γ) + Bar(α - γ)(β - γ) = 2t(β - γ)Bar(β- γ) (tを含む項を右辺に。) > > これでtは求まったので、hをα,β,γ（とその共役）の形でかけます。思ったより項の数が増えそうなのでここまでにします。
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