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■50754 / 親記事)  三角形の辺の長さ
  
□投稿者/ ゲブラ・ナガトヨ 一般人(1回)-(2021/04/27(Tue) 08:42:39)
    三角形ABCの辺ABとACの長さは変えずに∠Aを大きくすると
    BCの長さも大きくなることを三角関数を使わずに初等的に
    示したいのですが、なにか良い案があれば教えて下さい。

    私が考えるとどうしてもcosが出てきてしまって歯がゆいです。
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■50755 / ResNo.1)  Re[1]: 三角形の辺の長さ
□投稿者/ らすかる 一般人(39回)-(2021/04/27(Tue) 11:45:51)
    A(0,0), B(0,-b), Cはy=mx上の点でbは正の実数、AC=1、mは実数
    とおくとCは(1/√(m^2+1),m/√(m^2+1))なので
    BC^2=b^2+1+2bm/√(m^2+1)
    m/√(m^2+1)はm=0のとき0で
    m>0のときm/√(m^2+1)=1/√(1+1/m^2)からmが増加するとき増加
    そしてm/√(m^2+1)は奇関数なので実数全体で増加
    よってBCは∠BACの増加にともなって増加する。

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■50756 / ResNo.2)  Re[2]: 三角形の辺の長さ
□投稿者/ ゲブラ・ナガトヨ 一般人(2回)-(2021/04/27(Tue) 12:04:52)
    座標も使わずに、となるとむずかしいのでしょうか?
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■50757 / ResNo.3)  Re[3]: 三角形の辺の長さ
□投稿者/ らすかる 一般人(40回)-(2021/04/27(Tue) 14:50:59)
    「初等的に」ではなく「初等幾何的に」という希望でしょうか。
    それならば、例えば
    AB≧ACである△ABCがあり、AC'=AC,∠C'AB>∠CABであるC'があるとする。
    ただし、C'は直線ABに関してCと同じ側にある。
    Aを中心としてCを通る円を描き、ABとの交点をP、BAの延長との交点をQとする。
    PQは円の直径で、C'は弧CQ上(端点を含まない)にある。
    このとき∠PCQ=90°なので∠BCC'>90°となる。よってBC'>BCなので
    ∠CABが大きいほうがBCが長い。

    # 「鈍角三角形の最長辺は鈍角に対する辺」を使いましたが、
    # これも未証明とするならば別に証明する必要があります。

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■50758 / ResNo.4)  Re[4]: 三角形の辺の長さ
□投稿者/ ゲブラ・ナガトヨ 一般人(3回)-(2021/04/27(Tue) 18:49:51)
    こういうのを求めておりました!
    ありがとう御座います。

    ちなみに「鈍角三角形の最長辺は鈍角に対する辺」は
    (180度-∠CC'B)/2<∠BCC'
    (180度-∠CBC')/2<∠BCC'
    を示してBC=BC"、C'C=C'C'''となるC"、C'''を辺BC'にとれる、
    でいいのでしょうか?他により適当な方法があれば教えて下さい。
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■50759 / ResNo.5)  Re[5]: 三角形の辺の長さ
□投稿者/ らすかる 一般人(41回)-(2021/04/27(Tue) 23:48:58)
    その方法で十分だと思います。
    というより、そういう基本的な事項の証明には後に出てくる定理は
    使えない(循環論法になる可能性があるから)かも知れませんので、
    そのような基本的な事柄しか使わない証明がベストだと思います。

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■50760 / ResNo.6)  Re[6]: 三角形の辺の長さ
□投稿者/ ゲブラ・ナガトヨ 一般人(4回)-(2021/04/28(Wed) 07:05:07)
    ありがとうございました!!
解決済み!
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