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■48827 / 親記事)  三次方程式
  
□投稿者/ 大阪なほみ 一般人(2回)-(2018/09/22(Sat) 16:04:38)
    実数a,b,cが0<a<c<b<1を満たすとき、
    x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=0
    の解は全て絶対値が2以下であることを示せ。

    教えて下さい。よろしくお願いします。
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■48828 / ResNo.1)  Re[1]: 三次方程式
□投稿者/ らすかる 一般人(15回)-(2018/09/22(Sat) 18:19:08)
    x>2のとき
    x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=(x-2)(x^2+x-1)+(x^2-2)(1-a)+b(x-1)+(b-c)>0
    x<-2のとき
    x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=(x+2){x^2+(1-x)}-(x+1)^2-ax^2+bx-(c-a)-(1-a)<0
    ∴解の絶対値は2以下

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■48829 / ResNo.2)  Re[2]: 三次方程式
□投稿者/ 大阪なほみ 一般人(3回)-(2018/09/22(Sat) 20:07:36)
    ひとつ質問よろしいでしょうか。
    虚数解をもつことはないのでしょうか?
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■48831 / ResNo.3)  Re[3]: 三次方程式
□投稿者/ らすかる 一般人(16回)-(2018/09/22(Sat) 23:28:17)
    ごめんなさい、勝手に実数範囲と思い込んでいました。
    でも虚数解を持つかどうか調べたところ、
    この方程式はたまたま全ての解が実数ですので
    (そのことを示す必要はありますが)大丈夫でした。

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■48836 / ResNo.4)  Re[4]: 三次方程式
□投稿者/ らすかる 一般人(21回)-(2018/09/23(Sun) 07:31:02)
    解答を以下のように訂正します。

    f(x)=x^3-ax^2+(b-3)x+2a-cとすると
    f(-2)=-(2a+2b+c+2)<0
    f(-1)=a+(1-b)+(1-c)>0
    f(1)=-{(1-a)+(1-b)+c}<0
    f(2)=2(1-a)+(b-c)+b>0
    なので、f(x)=0は(-2,-1),(-1,1),(1,2)の各区間内に実数解を一つずつ持つ。
    従ってf(x)=0の解は全て絶対値が2以下。

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■48837 / ResNo.5)  Re[5]: 三次方程式
□投稿者/ 大阪なほみ 一般人(4回)-(2018/09/23(Sun) 11:36:47)
    ありがとうございます!!
    こうやれば良かったんですね。
    非常に爽快な解法を教えていただき
    大変勉強になりました。
解決済み!
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