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■48842 / 親記事)  三角関数
  
□投稿者/ Galaxy 一般人(1回)-(2018/09/26(Wed) 14:45:37)
    a,b,cは定数で、任意の実数θに対して
    (cos3θ+acos2θ+bcosθ+c)^2+(sin3θ+asin2θ+bsinθ+c)^2=1
    が成り立つならばa=b=c=0であることの証明を教えて下さい。
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■48843 / ResNo.1)  Re[1]: 三角関数
□投稿者/ らすかる 一般人(24回)-(2018/09/26(Wed) 16:17:55)
    θ=π/2を代入すると (-a+c)^2+(-1+b+c)^2=1 … (1)
    θ=-π/2を代入すると (-a+c)^2+(1-b+c)^2=1 … (2)
    (1)-(2)を整理すると (b-1)c=0 … (a)
    θ=π/3を代入すると (-1-a/2+b/2+c)^2+((√3/2)a+(√3/2)b+c)^2=1 … (3)
    θ=-π/3を代入すると (-1-a/2+b/2+c)^2+(-(√3/2)a-(√3/2)b+c)^2=1 … (4)
    (3)-(4)を整理すると (a+b)c=0 … (b)
    θ=2π/3を代入すると (1-a/2-b/2+c)^2+(-(√3/2)a+(√3/2)b+c)^2=1 … (5)
    θ=-2π/3を代入すると (1-a/2-b/2+c)^2+((√3/2)a-(√3/2)b+c)^2=1 … (6)
    (5)-(6)を整理すると (a-b)c=0 … (c)
    c≠0と仮定すると(b)(c)からa+b=0,a-b=0なのでa=b=0
    すると(a)が成り立たず不適、従ってc=0
    (1)+(2)を整理してc=0を代入すると a^2+b^2=2b … (7)
    (3)+(5)を整理してc=0を代入すると a^2+b^2=b … (8)
    (7)-(8)からb=0、これを(8)に代入してa=0
    よって任意の実数θについて与式が成り立つならばa=b=c=0

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■48844 / ResNo.2)  Re[2]: 三角関数
□投稿者/ Galaxy 一般人(1回)-(2018/09/26(Wed) 20:44:55)
    有り難うございました。
    とても助かりました。
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