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■48893 / 親記事)  整数の個数と極限
  
□投稿者/ ボンボニエール 一般人(1回)-(2018/11/17(Sat) 19:08:40)
    nを自然数とする。整数kに関する次の条件(C),(D)を考える。
    (C) 0≦k<n 
    (D) k/n≦1/m<(k+1)/n を満たす自然数mが存在する。
    条件(C),(D)をどちらも満たす整数kの個数をT[n]とする。
    lim[n→∞](log(T[n]))/(log(n))
    を求めよ。

    この問題を教えて下さい。
    よろしくお願いします。
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■48896 / ResNo.1)  Re[1]: 整数の個数と極限
□投稿者/ muturajcp 一般人(15回)-(2018/11/18(Sun) 21:25:42)
    nを自然数とする。整数kに関する次の条件(C),(D)を考える。
    (C) 0≦k<n 
    (D) k/n≦1/m<(k+1)/n を満たす自然数mが存在する。
    条件(C),(D)をどちらも満たす整数kの個数をT[n]とする。
    k<nだから
    k+1≦nだから
    k/n≦1/m<(k+1)/n≦1だから
    k/n≦1/m<1となる最大の1/mは1/2だから
    T[n]は
    k/n≦1/2となるkの個数となる
    k/n≦1/2となるkの最大値は
    k≦n/2となるkの最大値で
    n/2の整数部[n/2]=int[n/2]だから
    T[n]=[n/2]+1
    [n/2]≦n/2<[n/2]+1
    n/2<[n/2]+1≦n/2+1=(n+2)/2
    n/2<T[n]≦(n+2)/2
    (log(n/2))/(log(n))≦(log(T[n]))/(log(n))≦(log((n+2)/2))/(log(n))
    {log(n)-log(2)}/(log(n))≦(log(T[n]))/(log(n))≦{log(n)+log(1+2/n)-log(2)}/log(n)
    1-log(2)/log(n)≦(log(T[n]))/(log(n))≦1+{log(1+2/n)-log(2)}/log(n)
    lim[n→∞]1-log(2)/log(n)≦lim[n→∞](log(T[n]))/(log(n))≦lim[n→∞]1+{log(1+2/n)-log(2)}/log(n)
    1≦lim[n→∞](log(T[n]))/(log(n))≦1

    lim[n→∞](log(T[n]))/(log(n))=1

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■48897 / ResNo.2)  Re[1]: 整数の個数と極限
□投稿者/ らすかる 一般人(33回)-(2018/11/18(Sun) 22:25:44)
    (D)を逆数にするとn/(k+1)<m≦n/k
    k≦√(n+1/4)-1/2のときn/k-n/(k+1)≧1だから
    k≦√(n+1/4)-1/2を満たすkに対してはmが必ず存在し、
    これは[√(n+1/4)-1/2]+1個ある(+1はk=0の分)。
    k>√(n+1/4)-1/2で存在するmは[n/{√(n+1/4)-1/2}]-a個
    (aは√(n+1/4)-1/2が整数のとき1、そうでないとき2)
    なので、T[n]=[√(n+1/4)-1/2]+1+[n/{√(n+1/4)-1/2}]-a
    √n-2<[√(n+1/4)-1/2]<√n
    √n-1<[n/{√(n+1/4)-1/2}]<√n+1
    なので2√n-4<T[n]<2√n+1
    従って
    lim[n→∞]log(2√n-4)/log(n)≦lim[n→∞]log(T[n])/log(n)≦lim[n→∞]log(2√n+1)/log(n)
    から
    lim[n→∞]log(T[n])/log(n)=1/2

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■48898 / ResNo.3)  Re[2]: 整数の個数と極限
□投稿者/ muturajcp 一般人(16回)-(2018/11/19(Mon) 19:29:13)
    求めるのはmの個数ではなく
    kの個数です
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■48899 / ResNo.4)  Re[3]: 整数の個数と極限
□投稿者/ らすかる 一般人(34回)-(2018/11/19(Mon) 21:19:36)
    > 求めるのはmの個数ではなくkの個数です
    私はkの個数を求めています。
    mの個数は無限個なので意味がないですね。

    例えばn=10000のとき
    m=2のときk=5000は条件を満たす
    m=3のときk=3333は条件を満たす
    m=4のときk=2500は条件を満たす
    ・・・
    m=100のときk=100は条件を満たす
    となり、k≧100で条件を満たすkは99個です。
    (2≦m≦100に対して、条件を満たすkは重複しません。)
    # m≦100では「条件を満たすmの個数」=「条件を満たすkの個数」なので
    # その部分から「mの個数を求めている」と感じられたのでしょうか。

    そしてk<100に対しては必ず条件を満たすmが存在しますので、
    k<100で条件を満たすのはk=0〜99の100個です。
    従ってn=10000のときはT[n]=99+100=199となります。
    この例のように、nが大きい時、T[n]は約2√nになりますので、
    求める極限値は1/2となります。

    上の解答は、この例をもう少し厳密に書いたものです。

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■48902 / ResNo.5)  Re[4]: 整数の個数と極限
□投稿者/ ボンボニエール 一般人(2回)-(2018/11/21(Wed) 11:01:19)
    1/2ですね。
    具体例も解説していただき大変理解が深まりました。
    ありがとうございました。
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