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■48904 / 親記事)  数列
  
□投稿者/ ホグワーツ魔法学校 一般人(1回)-(2018/11/21(Wed) 16:31:24)
    次の漸化式で定まる数列 が単調減少であることの証明を教えて下さい。




    お願いします。
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■48906 / ResNo.1)  Re[1]: 数列
□投稿者/ らすかる 一般人(36回)-(2018/11/21(Wed) 17:28:50)
    条件からa[n]は正なので
    (n-1)a[n]≧0
    (n-1)a[n]+1/(2^n)>0
    (2n-1)a[n]+1/(2^n)>na[n]
    {(2n-1)/(2n)}a[n]+1/{n・2^(n+1)}>a[n]/2
    左辺はa[n+1]に等しいのでa[n+1]>a[n]/2
    a[1]>1/2なのでa[n]>1/(2^n)
    (2^n)a[n]>1
    (2^n)a[n]-1>0
    -(2^n)a[n]+1<0

    a[n+1]={(2n-1)/(2n)}a[n]+1/{n・2^(n+1)}
    a[n+1]=a[n]-{1/(2n)}a[n]+1/{n・2^(n+1)}
    a[n+1]-a[n]=-{1/(2n)}a[n]+1/{n・2^(n+1)}
    a[n+1]-a[n]={-(2^n)a[n]+1}/{n・2^(n+1)}<0
    従って単調減少。

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■48907 / ResNo.2)  Re[2]: 数列
□投稿者/ ホグワーツ魔法学校 一般人(2回)-(2018/11/22(Thu) 13:54:35)
    有り難うございました。
    とても分かりやすいです。
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