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■48905 / 親記事)  放物線と円
  
□投稿者/ 仙柳 一般人(1回)-(2018/11/21(Wed) 16:51:48)
    以下の問題の模範解答を教えていただけないでしょうか。
    素人が解答を作るとどうもキチッとしないものになってしまうので
    模範解答が知りたいと思っています。よろしくお願いします。

    問題
    kを正の定数とする。
    xy平面において放物線y=x^2と直線y=x+kで
    囲まれた領域に含まれる円の最大の半径を
    kで表せ。
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■48930 / ResNo.1)  Re[1]: 放物線と円
□投稿者/ muturajcp 一般人(22回)-(2018/12/23(Sun) 20:33:15)
    kを正の定数とする.
    xy平面において放物線y=x^2と直線y=x+kで
    囲まれた領域に含まれる円の最大の半径をrとする
    円は直線y=x+kと1点で接する
    円は放物線と1点以上で接する
    接点以外の交点を持たない
    A=(1/2,1/4)とする
    (x,y)=Aの時,放物線の接線の傾きはy'=2x=1となる
    接線は直線y=x+kの傾き1と同じ平行になる
    法線は
    y=-x+(3/4)
    となる
    法線と直線y=x+kの交点をB=(x,y)とすると
    B=((3-4k)/8,(3+4k)/8)
    |AB|/2={(4k+1)√2}/16
    となる
    ABの中点をC(x,y)とすると
    C=((7-4k)/16,(4k+5)/16)
    だから中心C半径|CA|の円の方程式は
    {x-(7-4k)/16}^2+{y-(4k+5)/16}^2=(4k+1)^2/128
    (16x+4k-7)^2+(16y-4k-5)^2=2(4k+1)^2
    32x^2+4(4k-7)x+32y^2-4(4k+5)y-4k+9=0
    放物線との交点を(x,x^2)してy=x^2を代入すると
    (2x-1)^2{8(x+1/2)^2+7-4k}=0
    0<k≦7/4の時
    円と放物線の交点は接点Aだけとなるから
    最大半径は
    r={(4k+1)√2}/16

    k>7/4の時は
    円と放物線は2点で接して中心はy軸上にある
    x座標が正の方の接点をA=(a,a^2)とすると
    法線は
    y={-1/(2a)}x+a^2+(1/2)
    だから
    中心Cは
    C=(0,a^2+(1/2))
    |CA|=√{a^2+(1/4)}
    Cから直線y=x+kへの垂線
    y=-x+a^2+(1/2)
    とy=x+kの交点をB=(x,y)とすると
    B=(a^2/2-k/2+1/4,a^2/2+k/2+1/4)
    |BC|=|CA|だから
    (k/2-a^2/2-1/4)√2=√(a^2+1/4)
    (2a^2+1-2k)^2=8a^2+2
    (2a^2-2k-1)^2=8k+2
    a^2=[2k+1-√{2(4k+1)}]/2
    |BC|=[{√(4k+1)}-√2]/2

    0<k≦7/4の時
    r={(4k+1)√2}/16

    k>7/4の時は
    r=[{√(4k+1)}-√2]/2
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