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■48926 / 親記事)  微分方程式の問題
  
□投稿者/ metro 一般人(3回)-(2018/12/23(Sun) 11:24:18)
    大学数学、微分方程式論についての質問です。

    Aをd次の正方行列で、g=g(t,ξ)を写像g:R×R^d → R^dでξに関して全微分可能でδg(t,ξ)/δξも連続であるとする。

    いま、uをR^d値の未知関数とする方程式

    du/dt=Au+g(t,u) (※)

    を考える。あるK > 0があって|g(t,ξ)| ≦ K (t ∈ R,ξ ∈ R)が成立するとする。

    この時任意のa ∈ Rに対して(※)の−∞ < t < ∞における解でu(0) = aとなるものが存在することを示せ。

    さらにAを実対称行列で全ての固有値は負であるとする。このとき、aを適当に選ぶことでu(t)は−∞ < t < ∞で有界になることを示せ。

    この問題の解き方が分かりません。教えてください。よろしくお願いします。

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■48934 / ResNo.1)  Re[1]: 微分方程式の問題
□投稿者/ metro 一般人(4回)-(2018/12/24(Mon) 10:03:52)
    この問いで、du/dt=Au+g(t,u)の解はu(0)=u_0として
    u(t)=(u_0)e^(At)+∫[0→t]e^{A(t−s)}g(s,u(s))ds
    と表せると思いますが、u(0) = aとなるのは
    u(t)=ae^(At)+∫[0→t]e^{A(t−s)}g(s,u(s))ds
    となるので解が存在するとしても良いのでしょうか?

    そして、「Aが実対称行列で〜」の方が良く分かりません。教えてくれますと嬉しいです。
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■48935 / ResNo.2)  Re[2]: 微分方程式の問題
□投稿者/ muturajcp 一般人(24回)-(2018/12/24(Mon) 17:24:31)
    du/dt=Au+g(t,u)の解は
    もし存在すれば
    u(0)=u_0として
    u(t)=e^(At)[u_0+∫[0→t]e^{A(-s)}g(s,u(s))ds]
    と表せて,u(0)=aとなるのは
    u(t)=e^(At)[a+∫[0→t]e^{A(-s)}g(s,u(s))ds]
    となるのであって
    解が存在するとはいえません

    なぜなら
    右辺のg(s,u(s))に中に求めるべき未知関数解u(s)が入っているからです
    未知の解を未知の解で定義する事はできません

    解の存在は
    コーシー・リプシッツの定理
    によって
    証明して下さい
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■48939 / ResNo.3)  Re[3]: 微分方程式の問題
□投稿者/ metro 一般人(5回)-(2018/12/25(Tue) 19:05:43)
    ありがとうございます。解決しました。
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