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■48943 / 親記事)  ベクトルについて。
  
□投稿者/ コルム 一般人(17回)-(2018/12/27(Thu) 10:29:34)
    次の問題が分かりません。教えていただけないでしょうか?
734×245 => 250×83

1545874174.png
/37KB
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■48945 / ResNo.1)  Re[1]: ベクトルについて。
□投稿者/ muturajcp 一般人(26回)-(2018/12/27(Thu) 21:10:16)
    空間内の3点A(0,-1,2),B(-3,-2,4),C(1,1,3)を通る平面をαとする.
    (1)
    ↑AB=(-3,-2,4)-(0,-1,2)=(-3-0,-2+1,4-2)=(-3,-1,2)
    ↑AC=(1,1,3)-(0,-1,2)=(1-0,1+1,3-2)=(1,2,1)
    (↑AB・↑AC)=((-3,-1,2)・(1,2,1))=-3-2+2=-3

    |AB|^2=(-3)^2+1+2^2=9+1+4=14
    |AC|^2=1^2+2^2+1^2=6

    |△ABC|
    =(1/2)|AB||AC|sin∠BAC
    =(1/2)|AB||AC|√{1-(cos∠BAC)^2}
    =(1/2)√[(|AB||AC|)^2{1-(cos∠BAC)^2}]
    =(1/2)√{|AB|^2|AC|^2-(|AB||AC|cos∠BAC)^2}
    =(1/2)√{|AB|^2|AC|^2-(↑AB・↑AC)^2}
    =(1/2)√{14*6-(-3)^2}
    =(1/2)√(84-9)
    =(1/2)√75
    ={√(5*5*3)}/2
    =(5√3)/2

    (2)原点Oから平面αに垂線を下ろし,
    αとの交点をHとする.
    ↑AB×↑AC
    =
    (|-1,2|,|2,-3|,|-3,-1|)
    (|2.,1|,|1.,1|,|1.,2.|)
    =
    (-5,5,-5)
    =
    -5(1,-1,1)

    x-(y+1)+z-2=0
    x-y+z-3=0
    (x,y,z)=(x,-x,x)
    y=-x
    z=x
    x+x+x-3=0
    x=1
    y=-1
    z=1

    H=(1,-1,1)

    (3)
    直線AHと直線BCの交点をDとすると
    Dは直線AH上の点だから
    ↑OD=(1-s)↑OA+s↑OH
    となる実数sがある.
    A=(0,-1,2),H=(1,-1,1)だから
    ↑OD=(1-s)(0,-1,2)+s(1,-1,1)=(s,-1,2-s)
    Dは直線BC上の点だから
    ↑OD=(1-t)↑OB+t↑OC
    となる実数tがある.
    B=(-3,-2,4),C=(1,1,3)だから
    ↑OD=(1-t)(-3,-2,4)+t(1,1,3)=(4t-3,3t-2,4-t)
    (s,-1,2-s)=↑OD=(4t-3,3t-2,4-t)
    だから
    s=4t-3
    -1=3t-2
    2-s=4-t
    だから
    1=3t
    t=1/3
    s=4/3-3=-5/3
    だから
    ↑OD=(8/3)↑OA-(5/3)↑OH
    3↑OD=8↑OA-5↑OH
    3↑OD-8↑OA+5↑OH=0
    3↑OD-3↑OA-5↑OA+5↑OH=0
    3↑AD+5↑AH=0
    5↑AH=-3↑AD
    5|AH|=3|AD|
    |AH|/|AD|=3/5

    |AH|:|AD|=3:5
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■48946 / ResNo.2)  Re[2]: ベクトルについて。
□投稿者/ まるちぽすと撲滅委員会 一般人(4回)-(2018/12/27(Thu) 22:10:35)
     質問者にとっては、まさに鬼回答と言うべきすばらしい回答である。
     とくに(2)はすばらしい(笑)。せっかくなので(1)も(2)の方針を踏襲しよう。
      AB↑×AC↑
      | i↑ j↑  k↑|
     = | -3  -1  2 |
      | 1  2  1 |
     = ( |-1  2| |2  -3| |-3  -1|
       | 2  1| ,|1  1| ,| 1  2| )
     = (-5, 5, 5)
     よって三角形ABCの面積は
      (1/2)√(5^2+5^2+5^2) = (5√3)/2

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■48947 / ResNo.3)  Re[3]: ベクトルについて。
□投稿者/ まるちぽすと撲滅委員会 一般人(5回)-(2018/12/28(Fri) 16:55:27)
     (1)と(3) は説明過剰と思えるくらい懇切丁寧な回答だが、(2)はやはり気になったので(笑)、蛇足を書いておく。ただし、外積の説明は省略。
      AB↑×AC↑= (-5, 5, 5) = -5(1, -1 ,1)
    は平面αに垂直なベクトルであるから、平面αは点 A(0,-1,2) を通り、(1, -1 ,1) を法線ベクトルとする。したがってその方程式は
      x - y + z - 0 - 1 - 2
     = x - y + z - 3 = 0. ・・・・・(※)
     点 H を適当な実数 k を用いて
      OH↑= k(1, -1, 1) = (k, -k, k)
    で表したとき、OH↑は(※)を満たすから
      k - (-k) + k - 3 = 0. k = 1.
      ∴OH↑= (1, -1, 1).

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