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■48959 / 親記事)  ベクトルについて。
  
□投稿者/ コルム 一般人(22回)-(2019/01/05(Sat) 21:22:09)
    ベクトルの問題です
    矢印が使えないため、ベクトルOAをV(OA)と表します。

    平面上の4点O,A,B,Cが
    |V(OA)|=|V(OB)|=1,|V(OC)|=5,V(OA)・V(OC)=3,V(OB)・V(OC)=4を満たしている。
    このとき、V(OA)・V(OB)の値を全て求めよ。また|V(AB)|の値を全て求めよ。

    よろしくお願いいたします。
    教えていただけると幸いです。
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■48960 / ResNo.1)  Re[1]: ベクトルについて。
□投稿者/ muturajcp 一般人(31回)-(2019/01/06(Sun) 19:28:01)
    (↑OA,↑OB)=|OA||OB|cos∠AOB
    ↓|OA|=|OB|=1だから
    (↑OA,↑OB)=cos∠AOB…(1)

    4点が平面上にあるから
    ∠AOB+∠AOC+∠BOC=2π
    ↓両辺から∠AOC+∠BOCを引くと
    ∠AOB=2π-∠AOC-∠BOC
    ↓これを(1)に代入すると
    (↑OA,↑OB)=cos(2π-∠AOC-∠BOC)
    ↓cos(2π-∠AOC-∠BOC)=cos(∠AOC+∠BOC)
    ↓だから
    (↑OA,↑OB)=cos(∠AOC+∠BOC)
    (↑OA,↑OB)=cos(∠AOC)cos(∠BOC)-sin(∠AOC)sin(∠BOC)…(2)

    (↑OA,↑OC)=3
    (↑OA,↑OC)=|OA||OC|cos∠AOC
    だから
    |OA||OC|cos∠AOC=3
    ↓|OA|=1,|OC|=5だから
    5cos∠AOC=3
    ↓両辺を5で割ると
    cos∠AOC=3/5…(3)
    ↓(sin∠AOC)^2=1-(cos∠AOC)^2だから
    (sin∠AOC)^2=1-(3/5)^2
    (sin∠AOC)^2=(4/5)^2
    sin∠AOC=±4/5…(4)

    (↑OB,↑OC)=4
    (↑OB,↑OC)=|OB||OC|cos∠BOC
    だから
    |OB||OC|cos∠BOC=4
    ↓|OB|=1,|OC|=5だから
    5cos∠BOC=4
    ↓両辺を5で割ると
    cos∠BOC=4/5…(4)
    ↓(sin∠BOC)^2=1-(cos∠BOC)^2だから
    (sin∠BOC)^2=1-(4/5)^2
    (sin∠BOC)^2=(3/5)^2
    sin∠BOC=±3/5…(6)
    ↓これと(3),(4),(5)を(2)に代入すると
    (↑OA,↑OB)=(3/5)(4/5)±(4/5)(3/5)
    (↑OA,↑OB)=12(1±1)/25
    (↑OA,↑OB)=0又は24/25…(7)

    |AB|^2=|↑OB-↑OA|^2
    |AB|^2=|OB|^2+|OA|^2-2(↑OA,↑OB)
    ↓|OB|=|OA|=1だから
    |AB|^2=2-2(↑OA,↑OB)
    |AB|^2=2{1-(↑OA,↑OB)}
    |AB|=√[2{1-(↑OA,↑OB)}]
    ↓(7)から
    |AB|=√[2{1-(0又は24/25)}]
    |AB|=√[2{1又は(1/25)}]
    |AB|=(√2)又は{(√2)/5}

    ↑OA・↑OB=0
    又は
    ↑OA・↑OB=24/25

    |AB|=√2
    又は
    |AB|=(√2)/5
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■48963 / ResNo.2)  Re[1]: ベクトルについて。
□投稿者/ コルム 一般人(24回)-(2019/01/06(Sun) 20:53:09)
    なぜ、∠AOB+∠AOC +∠BOC=2πなのでしょうか?教えていただけると幸いです。
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■48964 / ResNo.3)  Re[2]: ベクトルについて。
□投稿者/ muturajcp 一般人(33回)-(2019/01/06(Sun) 21:34:41)
    O,A,B,Cは同一平面上にあるから

    まず
    OからAへ直線を引く

    次に
    Oを中心としてAからBへ
    左反時計まわりか
    右時計まわりか
    どちらか間にCが無いほうに回転して
    角度を測りそれを∠AOBとする

    続いて
    Oを中心としてBからCへ
    前と同じ方向へ回転して
    角度を測りそれを∠BOCとする

    続いて
    Oを中心としてCからAへ
    前と同じ方向へ回転して
    角度を測りそれを∠COAとする

    1回転(=360°(=2π))回転するから

    ∠AOB+∠BOC+∠COA=360°=2π
371×634 => 146×250

m2019010521.jpg
/19KB
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■48973 / ResNo.4)  Re[1]: ベクトルについて。
□投稿者/ コルム 一般人(27回)-(2019/01/11(Fri) 03:54:33)
    次の解答の続きを書いていただけないでしょうか?
    |V(OA)|=|V(OB)|=1, |V(OC)|=5より、点A,B,Cを極座標表示でA(sinScosP, sinSsinP, cosS), B(sinTcosQ, sinTsinQ, cosT), C(5sinUcosR, 5sinUsinR, 5cosU) (0≦P,Q,R,S,T,U<2π)とする。

    V(OA)・V(OC)=3より、
    5sinScosPsinUcosR+5sinSsinPsinUsinR+5cosScosU=3
    5(sinScosPsinUcosR+sinSsinPsinUsinR+cosScosU)=3
    sinScosPsinUcosR+sinSsinPsinUsinR+cosScosU=3/5
    sinSsinU(cosPcosR+sinPsinR)+cosScosU=3/5
    cos(P-R)sinSsinU+cosScosU=3/5
    cos(P-R)(-1/2)(cos(S+U)-cos(S-U))+(1/2)(cos(S+U)+cos(S-U))=3/5
    -cos(P-R)(cos(S+U)-cos(S-U))+(cos(S+U)+cos(S-U))=6/5
    cos(S+U)(1-cos(P-R))+cos(S-U)(1+cos(P-R))=6/5
    教えていただけると幸いです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■48975 / ResNo.5)  Re[1]: ベクトルについて。
□投稿者/ muturajcp 一般人(37回)-(2019/01/11(Fri) 20:48:55)
    |OA|=|OB|=1
    |OC|=5
    ↑OA・↑OC=3
    ↑OB・↑OC=4
    O,A,B,Cは同一平面上にあるから
    ↑OA,↑OB,↑OCは1次従属だから
    x↑OA+y↑OB+z↑OC=0…(1)
    となる実数(x,y,z)≠(0,0,0)がある
    ↓(1)と↑OCの内積をとると
    x(↑OA・↑OC)+y(↑OB・↑OC)+z|↑OC|^2=0
    ↓↑OA・↑OC=3
    ↓↑OB・↑OC=4
    ↓|OC|=5
    ↓だから
    3x+4y+25z=0…(2)

    (1)と↑OAの内積をとると
    x|↑OA|^2+y(↑OA・↑OB)+z(↑OA・↑OC)=0
    ↓|OA|=1
    ↓↑OA・↑OC=3
    ↓だから
    x+y(↑OA・↑OB)+3z=0…(3)

    ↓(1)と↑OBの内積をとると
    x(↑OA・↑OB)+y|↑OB|^2+z(↑OB・↑OC)=0
    ↓|OB|=1
    ↓↑OB・↑OC=4
    ↓だから
    x(↑OA・↑OB)+y+4z=0…(4)

    (3)の両辺に25をかけると
    25x+25y(↑OA・↑OB)+75z=0…(5)
    (2)の両辺に3をかけると
    9x+12y+75z=0…(6)
    ↓(5)からこれを引くと
    16x+13y(↑OA・↑OB)=0…(7)

    (4)の両辺に25をかけると
    25x(↑OA・↑OB)+25y+100z=0…(8)
    (2)の両辺に4をかけると
    12x+16y+100z=0…(9)
    ↓(5)からこれを引くと
    13x(↑OA・↑OB)+9y=0…(10)
    x=0の時y=0で(2)からz=0となって(x,y,z)≠(0,0,0)に矛盾するからx≠0だから
    (7)の両辺にxをかけると
    16x^2+13xy(↑OA・↑OB)=0…(11)
    y=0の時(6)からx=0で(2)からz=0となって(x,y,z)≠(0,0,0)に矛盾するからy≠0だから
    (11)の両辺にyをかけると
    13xy(↑OA・↑OB)+9y^2=0
    ↓これから(10)を引くと
    9y^2-16x^2=0
    ↓両辺に16x^2を加えると
    9y^2=16x^2
    ↓両辺を1/2乗すると
    3y=±4x

    3y=4xの時
    これを(6)に代入すると
    9x+16x+75z=0
    25x+75z=0
    ↓両辺を25で割ると
    x+3z=0
    ↓これを(3)に代入すると
    y(↑OA・↑OB)=0
    ↓y≠0だから
    (↑OA・↑OB)=0…(12)

    3y=-4xの時
    これを(6)に代入すると
    9x-16x+75z=0
    -7x+75z=0
    75z=7x
    x=75z/7…(13)

    4x=-3yを(9)に代入すると
    -9y+16y+100z=0
    7y+100z=0
    7y=-100z
    y=-100z/7
    ↓これと(13)を(3)に代入すると
    75z/7-(100z/7)(↑OA・↑OB)+3z=0
    ↓z≠0だから両辺に7/(4z)をかけると
    75/4-25(↑OA・↑OB)+21/4=0
    24-25(↑OA・↑OB)=0
    ↓両辺に25(↑OA・↑OB)を加え左右を入れ替えると
    25(↑OA・↑OB)=24
    ↓両辺を25で割ると
    (↑OA・↑OB)=24/25…(14)

    |AB|^2=|↑OB-↑OA|^2
    |AB|^2=|OB|^2+|OA|^2-2(↑OA,↑OB)
    ↓|OB|=|OA|=1だから
    |AB|^2=2-2(↑OA,↑OB)
    |AB|^2=2{1-(↑OA,↑OB)}
    |AB|=√[2{1-(↑OA,↑OB)}]…(15)

    (12),(15)から
    (↑OA・↑OB)=0
    の時
    |AB|=√2

    (14),(15)から
    (↑OA・↑OB)=24/25
    の時
    |AB|=(√2)/5
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