数学ナビゲーター掲示板

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

■48990 / 親記事)  複素解析学 留数計算
  
□投稿者/ ぬ 一般人(1回)-(2019/01/20(Sun) 12:55:41)
    次積分を留数計算を使って求めなさい

    $甜0→∞]x^2/(x^2+1)^3dx$

    できる限り途中式を詳しく書いていただければ幸いです。
    よろしくお願い致します。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■48997 / ResNo.1)  Re[1]: 複素解析学 留数計算
□投稿者/ muturajcp 一般人(46回)-(2019/01/23(Wed) 20:58:04)
    f(z)=z^2/(z^2+1)^3
    とすると
    f(z)の特異点は±iで,3位の極である
    Cの内部にあるものはiだけである
    z=iはf(z)の3位の極だから

    Res[f(z),i]
    =(1/2)lim_{z→i}{z^2/(z+i)^3}"
    =(1/2)lim_{z→i}[2{z/(z+i)^3}'-3{z^2/(z+i)^4}']
    =(1/2)lim_{z→i}[2{1/(z+i)^3-3z/(z+i)^4}-3{2z/(z+i)^4-4z^2/(z+i)^5}]
    =(1/2)lim_{z→i}[2/(z+i)^3-12z/(z+i)^4+12z^2/(z+i)^5]
    =lim_{z→i}[(z+i)^2-6z(z+i)+6z^2]/(z+i)^5
    =lim_{z→i}(z^2-4iz-1)/(z+i)^5
    =-i/16

    ∫_{C}f(z)dz
    =i2πRes[f(z),i]
    =π/8
    したがって

    ∫_{-R〜R}f(z)dz+∫_{Γ}f(z)dz=π/8
    lim_{R→∞}∫_{Γ}f(z)dz=lim_{R→∞}∫_{0〜π}[ie^(3it)/{Re^(2it)+1/R}^3]dt=0

    ∫_{-∞〜∞}x^2/(x^2+1)^3dx=π/8
    したがって
    ∫_{0〜∞}x^2/(x^2+1)^3dx=π/16
1000×1000 => 250×250

m20190120121.jpg
/79KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/



スレッド内ページ移動 / << 0 >>

このスレッドに書きこむ

Mode/  Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター