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■49067 / 親記事)  単調増加数列
  
□投稿者/ むさし 一般人(1回)-(2019/03/23(Sat) 12:29:23)
    a[1]=1、a[2]=3、a[n+2]=4a[n+1]-a[n] (n≧1)
    で定まる数列a[n]に対し
    b[n]=a[n+1]/a[n]
    とすると、b[n]が単調増加であることを示すには
    どうすればいいのでしょうか?
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■49068 / ResNo.1)  Re[1]: 単調増加数列
□投稿者/ らすかる 一般人(1回)-(2019/03/23(Sat) 13:30:08)
    b[n]=a[n+1]/a[n]
    =(4a[n]-a[n-1])/a[n]
    =4-a[n-1]/a[n]
    =4-1/b[n-1]
    b[1]=3<2+√3
    b[n-1]<2+√3のとき
    1/b[n-1]>1/(2+√3)=2-√3
    -1/b[n-1]<-2+√3
    4-1/b[n-1]<2+√3
    ∴b[n]<2+√3
    となるのですべてのnに対しb[n]<2+√3
    また条件から明らかにa[n+1]>a[n]なのでb[n]>1
    よってすべてのnに対して
    1<b[n]<2+√3
    -1<b[n]-2<√3
    (b[n]-2)^2<3
    ∴3-(b[n]-2)^2>0
    となるので、
    b[n]-b[n-1]
    =4-1/b[n-1]-b[n-1]
    ={3-(b[n-1]-2)^2}/b[n-1]
    >0

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■49074 / ResNo.2)  Re[2]: 単調増加数列
□投稿者/ むさし 一般人(2回)-(2019/03/24(Sun) 05:56:47)
    有り難うございます
    意外と考えるところがあって難しいです
解決済み!
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