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■49076 / 親記事)  自然数の方程式
  
□投稿者/ だんすぱーちー 一般人(1回)-(2019/03/24(Sun) 13:14:45)
    a,b,x,yは自然数で、xはyを割り切る(yはxの倍数である)ものとする。
    さらに、s[1],s[2],s[3],s[4],t[1],t[2],t[3],t[4]を整数として、
    これらが
    as[1]=xt[1]
    bs[2]=xt[2]
    as[3]=yt[3]
    bs[4]=yt[4]
    |s[1]s[4]-s[2]s[3]|=1
    |t[1]t[4]-t[2]t[3]|=1
    を満たしているとする。
    このとき、x,yをa,bを用いて表せ。
    
    この問題の解き方を教えて下さい。
    よろしくお願いします。

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■49077 / ResNo.1)  Re[1]: 自然数の方程式
□投稿者/ らすかる 一般人(2回)-(2019/03/24(Sun) 15:05:54)
    aとbの最大公約数をgとしてa=Ag,b=Bgとする。AとBは互いに素。
    as[1]=xt[1], bs[2]=xt[2]から
    Ags[1]=xt[1], Bgs[2]=xt[2]であり
    条件からt[1]とt[2]は互いに素なので、xはgで割り切れる。
    x=zgとおくと、yはxの倍数なのでy=kzgとおける。
    as[1]=xt[1], as[3]=yt[3]から
    Ags[1]=zgt[1], Ags[3]=kzgt[3]すなわち
    As[1]=zt[1], As[3]=kzt[3]
    条件からs[1]とs[3]は互いに素なので、Aはzで割り切れる。
    同様に
    bs[2]=xt[2], bs[4]=yt[4]から
    Bgs[2]=zgt[2], Bgs[4]=kzgt[4]すなわち
    Bs[2]=zt[2], Bs[4]=kzt[4]
    条件からs[2]とs[4]は互いに素なので、Bはzで割り切れる。
    AとBは互いに素なので、z=1。従ってx=gすなわちxはaとbの最大公約数。

    第1式×第4式-第2式×第3式から
    ab(s[1]s[4]-s[2]s[3])=xy(t[1]t[4]-t[2]t[3])
    a,b,x,yは正なので ab=xy
    となるから、y=ab/g=(aとbの最小公倍数)

    従って答えは
    xはaとbの最大公約数
    yはaとbの最小公倍数

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■49082 / ResNo.2)  Re[2]: 自然数の方程式
□投稿者/ だんすぱーちー 一般人(2回)-(2019/03/25(Mon) 01:48:41)
    とてもよく分かりました
    ありがとうございました

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