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■49095 / 親記事)  たぶん三角関数の等式
  
□投稿者/ 中学三年生の質問者 一般人(1回)-(2019/03/27(Wed) 12:52:14)
    x,y,zは0より大きく1より小さい1/2ではない実数で
    関数fをf(a)=(2√(a-a^2))/(1-2a)とすると
    f(x)f(y)f(z)=f(x)+f(y)+f(z)を満たしている
    x+y+z+2√(xyz)の値を求めよ

    この問題なのですが、中三程度の式変形で解けますでしょうか?
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■49099 / ResNo.1)  Re[1]: たぶん三角関数の等式
□投稿者/ らすかる 一般人(3回)-(2019/03/27(Wed) 22:36:41)
    問題は正しいですか?

    例えば
    x=(2-√2)/4≒0.15, y=(5-√5)/10≒0.28, z=(10-√10)/20≒0.34のとき
    f(x)=1, f(y)=2, f(z)=3なのでf(x)f(y)f(z)=f(x)+f(y)+f(z)を満たしており
    x+y+z+2√(xyz)=1

    x=(2+√2)/4≒0.85, y=(5+√5)/10≒0.72, z=(10+√10)/20≒0.66のとき
    f(x)=-1, f(y)=-2, f(z)=-3なのでf(x)f(y)f(z)=f(x)+f(y)+f(z)を満たしており
    x+y+z+2√(xyz)=(15+5√2+3√5+2√10)/10≒3.51

    x=(2+√2)/4≒0.85, y=(5-√5)/10≒0.28, z=(10+3√10)/20≒0.97のとき
    f(x)=-1, f(y)=2, f(z)=-1/3なのでf(x)f(y)f(z)=f(x)+f(y)+f(z)を満たしており
    x+y+z+2√(xyz)=(15+5√2+√5+2√10)/10≒3.06

    x=(2+√2)/4≒0.85, y=(10-√10)/20≒0.34, z=(5+2√5)/10≒0.95のとき
    f(x)=-1, f(y)=3, f(z)=-1/2なのでf(x)f(y)f(z)=f(x)+f(y)+f(z)を満たしており
    x+y+z+2√(xyz)=(3+√2)(5+√5)/10≒3.19

    などのようになり、x+y+z+2√(xyz)の値が定まりません。

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■49100 / ResNo.2)  Re[2]: たぶん三角関数の等式
□投稿者/ 中学三年生の質問者 一般人(2回)-(2019/03/28(Thu) 00:22:16)
    すみません、私がなにか勘違いしているかもしれません。

    もしf(x)>0かつf(y)>0かつf(z)>0や、またはf(x)<0かつf(y)>0かつf(z)>0
    などの条件があれば少なくとも問題としては成立するでしょうか?
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■49102 / ResNo.3)  Re[3]: たぶん三角関数の等式
□投稿者/ らすかる 一般人(4回)-(2019/03/28(Thu) 06:00:32)
    > もしf(x)>0かつf(y)>0かつf(z)>0や、またはf(x)<0かつf(y)>0かつf(z)>0
    > などの条件があれば少なくとも問題としては成立するでしょうか?

    そうですね、f(x),f(y),f(z)のうち2個以上が正ならばx+y+z+2√(xyz)=1です。
    x=(sin(A/2))^2, y=(sin(B/2))^2, z=(sin(C/2))^2, 0<A,B,C<π とおくと
    f(x)=tanA, f(y)=tanB, f(z)=tanCとなり、
    f(x)f(y)f(z)=f(x)+f(y)+f(z)からA+B+C=πが導けますので
    A,B,Cは△ABCの内角と考えられます。
    そう考えると鈍角は最大1個ですから、f(x),f(y),f(z)のうち
    2個以上が正となり、この条件のとき
    x+y+z+2√(xyz)
    =(sin(A/2))^2+(sin(B/2))^2+(sin(C/2))^2+2sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
    =1
    が成り立ちます(証明はしていません)。
    これを三角関数を使わずに示そうとすると
    u>0,v>0,w=(u+v)/(uv-1)として
    {1-1/√(u^2+1)}/2+{1-1/√(v^2+1)}/2+{1-w/√(w^4+w^2)}/2
    +2√{{1-1/√(u^2+1)}/2・{1-1/√(v^2+1)}/2・{1-w/√(w^4+w^2)}/2
    =1
    が成り立つことを示すことになりますが、
    式が複雑すぎて解けていません。

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■49110 / ResNo.4)  Re[3]: たぶん三角関数の等式
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2019/03/28(Thu) 23:39:56)
    ほぼ解けました。

    f(a)=2√(a-a^2)/(1-2a)
    条件からf(a)≠0
    逆関数g(a)を求めると
    a>0のときg(a)={1-1/√(a^2+1)}/2
    a<0のときg(a)={1+1/√(a^2+1)}/2
    であり
    xyz=x+y+z(xyz≠0)を満たしているときに
    g(x)+g(y)+g(z)+2√{g(x)g(y)g(z)}
    の値を求める問題になる。
    ここで追加条件によりx>0,y>0とおいてよいので
    g(x)={1-1/√(x^2+1)}/2, g(y)={1-1/√(y^2+1)}/2

    z>0のときg(z)={1-1/√(z^2+1)}/2 (※z<0のときも多分同様なので省略)
    g(x)+g(y)+g(z)+2√{g(x)g(y)g(z)}
    ={1-1/√(x^2+1)}/2+{1-1/√(y^2+1)}/2+{1-1/√(z^2+1)}/2
     +2√{{1-1/√(x^2+1)}/2・{1-1/√(y^2+1)}/2・{1-1/√(z^2+1)}/2}
    なので、xyz=x+y+zのときに
    {1-1/√(x^2+1)}/2+{1-1/√(y^2+1)}/2+{1-1/√(z^2+1)}/2
     +2√{{1-1/√(x^2+1)}/2・{1-1/√(y^2+1)}/2・{1-1/√(z^2+1)}/2}=1
    となることを示せばよい。
    この式を変形していくと成り立つので、それを逆順に書くと
    xyz=x+y+z
    xyz-x-y-z=0
    (xyz-x-y-z)(xyz+x+y-z)(xyz+x-y+z)(xyz-x+y+z)=0
    (x^2y^2z^2-x^2-y^2-z^2-2)^2=4(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)
    x^2y^2z^2-x^2-y^2-z^2-2=2√{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)} (※)
    (x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)-(x^2+1)(y^2+1)-(y^2+1)(z^2+1)-(z^2+1)(x^2+1)
    =2{√(x^2+1)}{√(y^2+1)}{√(z^2+1)}
    √(x^2+1)=p,√(y^2+1)=q,√(z^2+1)=rとおくと
    p^2q^2r^2-p^2q^2-q^2r^2-r^2p^2=2pqr
    2(p-1)(q-1)(r-1)(pqr)=(pqr-pq-qr-rp)^2
    √{2(p-1)(q-1)(r-1)(pqr)}=-(pqr-pq-qr-rp) (※)
    {(3pqr-pq-qr-rp)+√{2(p-1)(q-1)(r-1)(pqr)}}/(2pqr)=1
    (1-1/p)/2+(1-1/q)/2+(1-1/r)/2+2√{(1-1/p)/2・(1-1/q)/2・(1-1/r)/2}=1
    ∴{1-1/√(x^2+1)}/2+{1-1/√(y^2+1)}/2+{1-1/√(z^2+1)}/2
     +2√{{1-1/√(x^2+1)}/2・{1-1/√(y^2+1)}/2・{1-1/√(z^2+1)}/2}=1
    のように示せます。
    ただし、(※)の2個所は平方根をとっていますが、符号についてきちんと
    検証していません。おそらくx,y,zのうち2個以上が正のときに
    上のようになり、そうでない時は符号が逆になるので1にならないのだと思います。
    従ってx,y,zのうち2個以上が正のときに
    x^2y^2z^2-x^2-y^2-z^2-2が正であることとpqr-pq-qr-rpが負であることを
    示せば、1になることの証明が完成します。

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■49137 / ResNo.5)  Re[4]: たぶん三角関数の等式
□投稿者/ 中学三年生の質問者 一般人(3回)-(2019/04/02(Tue) 00:07:00)
    有難うございます。
    詳しく計算を書いていただいたので大変助かります。

    x^2y^2z^2-x^2-y^2-z^2-2
    =(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2-2
    =2(xy+yz+zx)-2
    =2{xy+z(x+y)}-2
    =2{xy+(x+y)^2/(xy-1)-1}
    =2(x^2+1)(y^2+1)/(xy-1)
    x,yが正、zが負とするとz(xy-1)=x+yよりxy-1は負なので
    x^2y^2z^2-x^2-y^2-z^2-2は負になりそうなので
    もう少しよく考えてみます
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■49138 / ResNo.6)  Re[5]: たぶん三角関数の等式
□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2019/04/02(Tue) 00:24:26)
    > x,yが正、zが負とするとz(xy-1)=x+yよりxy-1は負なので
    > x^2y^2z^2-x^2-y^2-z^2-2は負になりそうなので
    > もう少しよく考えてみます

    上に書いた計算は「z>0の場合」の計算です。
    z<0の場合は冒頭の式が
    g(x)+g(y)+g(z)+2√{g(x)g(y)g(z)}
    ={1-1/√(x^2+1)}/2+{1-1/√(y^2+1)}/2+{1-1/√(z^2+1)}/2
     +2√{{1-1/√(x^2+1)}/2・{1-1/√(y^2+1)}/2・{1-1/√(z^2+1)}/2}
    でなく
    g(x)+g(y)+g(z)+2√{g(x)g(y)g(z)}
    ={1-1/√(x^2+1)}/2+{1-1/√(y^2+1)}/2+{1+1/√(z^2+1)}/2
     +2√{{1-1/√(x^2+1)}/2・{1-1/√(y^2+1)}/2・{1+1/√(z^2+1)}/2}
    となりますので、計算は違ってくるはずです。
    しかし長大な式変形をもう一度やりたくありませんので
    z>0の場合のみ書いて、z<0の場合は「(※z<0のときも多分同様なので省略)」
    と断って省略しました。
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