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■49121 / 親記事)  数学オリンピックの幾何の問題
  
□投稿者/ モノトーン 一般人(1回)-(2019/03/31(Sun) 08:22:50)
    ∠ABC=90°である三角形ABCの辺BC,CA,AB上に点P,Q,Rがあり、AQ:QC=2:1,AR=AQ,QP=QR,∠PQR=90°が成立している。CP=1のときARを求めよ。
    【JMO2011予選の問題】

    上記の問題について、幾何的な解法は理解できましたが、座標平面を導入し、代数的に解けないか考えてみました。

    A(3a,0),B(0,0),C(0,3c),R(r,0)とおく。ただし、a>0,c>1/3,0<r<aとする。
    また、与えられた条件より,P(0,3c-1)Q(a,2c)となる。

    AQ=ARより → 二点間の距離(計算略)→ 5a^2-4c^2-6ar+r^2=0
    PQ=QRより → 二点間の距離(計算略)→ 3c^2+2c-2ar+r^2=1
    PQ⊥RQより → 内積=0(計算略)→ a^2-ar-2c^2+2c=0

    という感じで、連立方程式を解く(正確にはrの値を求める)という方針を立てたのですが
    なかなかここから進みません。どなたかもし上手い方法があればご教授願います。よろしくお願いいたしますm(__)m


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■49122 / ResNo.1)  Re[1]: 数学オリンピックの幾何の問題
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2019/03/31(Sun) 11:20:42)
    5a^2-4c^2-6ar+r^2=0 … (1)
    3c^2+2c-2ar+r^2=1 … (2)
    a^2-ar-2c^2+2c=0 … (3)

    (2)×2+(3)×5-(1)をcについて整理して
    c=-(r^2-3ar-2)/14 … (4)
    (4)を(1)に代入して整理すると
    (245-9r^2)a^2+6r(r^2-51)a-(r^4-53r^2+4)=0 … (5)
    (4)を(3)に代入して整理すると
    (98-9r^2)a^2+2r(3r^2-34)a-(r^4+10r^2-24)=0 … (6)
    (5)×(98-9r^2)-(6)×(245-9r^2)をaについて整理して
    a=(15r^4-282r^2+224)/{(45r^2-476)r} … (7)
    (7)を(5)に代入して整理すると
    (r^2+1)(5r^2-20r+16)(5r^2+20r+16)(9r^2-245)=0
    よって正の実数解は
    r=2(5±√5)/5,7√5/3
    この解と(7)と(4)からa,cを求めると
    r=7√5/3のときa=14129√5/33705,c=-5080/6741<0となり不適
    r=2(5-√5)/5のときa=2(5-2√5)/5,c=(5-2√5)/5<1/3となり不適
    r=2(5+√5)/5のときa=2(5+2√5)/5,c=(5+2√5)/5>1/3となり適
    従って求める答えは 3a-r={6(5+2√5)-2(5+√5)}/5=4+2√5

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■49123 / ResNo.2)  Re[2]: 数学オリンピックの幾何の問題
□投稿者/ モノトーン 一般人(4回)-(2019/03/31(Sun) 11:30:56)
    さっそくのご返事ありがとうございます!
    こんなに煩雑に過程になるのですね…
    ここまでの計算量があるものを対応いただき、ありがとうございましたm(__)m
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