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■49225 / 親記事)  複素解析
  
□投稿者/ konP 一般人(1回)-(2019/04/20(Sat) 18:11:47)
    複素解析のrungeの定理の証明に使う補題についてです。写真をアップしますので、ご覧いただきたいです。証明の5行目あたりの「二つの開集合OとD-O」とありますが、なぜこの二つは開集合になるのでしょうか。よろしくおねがいします。
299×417 => 179×250

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■49240 / ResNo.1)  Re[1]: 複素解析
□投稿者/ muturajcp 軍団(134回)-(2019/04/21(Sun) 20:24:01)
    O⊂D
    O≠D
    D-O≠φ
    ∂O=cl(O)-int(O)
    もし
    (∂O)∩D=φ
    ならば
    {cl(O)-int(O)}∩D=φ
    cl(O)∩{-int(O)}∩D=φ
    ↓{-int(O)∩D}=D-int(O)だから
    cl(O)∩{D-int(O)}=φ
    ↓int(O)⊂cl(O)だから
    ↓D-cl(O)⊂D-int(O)だから
    int(O)∩{D-cl(O)}⊂cl(O)∩{D-int(O)}=φ
    int(O)∩{D-cl(O)}=φ

    D-[int(O)∪{D-cl(O)}]
    =(D-int(O))∩[D-{D-cl(O)}]
    =(D-int(O))∩D∩cl(O)
    =D∩cl(O)∩{-int(O)}
    =D∩(∂O)

    だから
    D=int(O)∪{D-cl(O)}⊂O∪(D-O)⊂D
    だから
    D=int(O)∪{D-cl(O)}=O∪(D-O)=D
    だから
    int(O)=OだからOは開
    D-cl(O)=D-OだからD-Oは開
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■49241 / ResNo.2)  Re[2]: 複素解析
□投稿者/ konP 一般人(4回)-(2019/04/21(Sun) 22:19:00)
    質問したものです。初心者なもので変なこと聞いていたらすみませんが、回答またお願いします。

    D-Oが開集合、を言うには、D∩∂D=φ、を言う必要は無いのでしょうか?
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■49242 / ResNo.3)  Re[3]: 複素解析
□投稿者/ muturajcp 軍団(135回)-(2019/04/22(Mon) 05:15:21)
    訂正します
    Kは閉集合だから
    C-Kは開集合だから
    DはC-Kの1つの連結成分だから
    DはC-Kの(閉)開集合となるから
    D=(C-K)∩Gとなる開集合Gがあるから
    Dは開集合となる
    O⊂D
    O≠D
    D-O≠φ
    ∂O=cl(O)-int(O)
    もし
    (∂O)∩D=φ
    ならば
    {cl(O)-int(O)}∩D=φ
    cl(O)∩{-int(O)}∩D=φ
    ↓{-int(O)∩D}=D-int(O)だから
    cl(O)∩{D-int(O)}=φ
    ↓int(O)⊂cl(O)だから
    ↓D-cl(O)⊂D-int(O)だから
    int(O)∩{D-cl(O)}⊂cl(O)∩{D-int(O)}=φ
    int(O)∩{D-cl(O)}=φ

    D-[int(O)∪{D-cl(O)}]
    =(D-int(O))∩[D-{D-cl(O)}]
    =(D-int(O))∩D∩cl(O)
    =D∩cl(O)∩{-int(O)}
    =D∩(∂O)


    D=int(O)∪{D-cl(O)}⊂O∪(D-O)⊂D
    だから
    D=int(O)∪{D-cl(O)}=O∪(D-O)=D
    だから
    int(O)=OだからOは開
    Dが開で
    D-cl(O)=D-OだからD-Oは開
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■49243 / ResNo.4)  Re[4]: 複素解析
□投稿者/ konP 一般人(6回)-(2019/04/22(Mon) 08:48:04)
    C-Kが開集合かつDはC-Kの連結成分ということから、Dは開集合、ということでしょうか?
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■49246 / ResNo.5)  Re[5]: 複素解析
□投稿者/ muturajcp 軍団(137回)-(2019/04/22(Mon) 16:19:04)
    はいそうです
    Kは閉集合だから
    C-Kは開集合だから
    DはC-Kの1つの連結成分だから
    DはC-Kの
    (閉)開集合となるから
    D=(C-K)∩Gとなる開集合Gがあるから
    Dは開集合となる

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■49247 / ResNo.6)  Re[5]: 複素解析
□投稿者/ muturajcp 軍団(138回)-(2019/04/22(Mon) 16:48:48)
    Kは閉集合だから
    C-Kは開集合だから
    DはC-Kの1つの連結成分だから
    a∈D
    とすると
    a∈D⊂C-K
    a∈C-K
    C-Kは開集合だから
    U(a)={z∈C;|z-a|<ε}⊂C-K
    となるような正数ε>0が存在する
    U(a)は連結開集合で
    a∈Dで
    DはC-Kの1つの連結成分だから
    だから
    U(a)={z∈C;|z-a|<ε}⊂D
    Dの任意の点aに対してU(a)⊂Dとなる近傍U(a)があるから
    Dは開集合となる
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■49249 / ResNo.7)  Re[6]: 複素解析
□投稿者/ konP 一般人(8回)-(2019/04/22(Mon) 19:27:19)
    納得しました。とても丁寧な証明でした。ありがとうございました。
解決済み!
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