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■49391 / 親記事)  三角方程式
  
□投稿者/ 掛け流し 一般人(5回)-(2019/05/22(Wed) 00:25:59)
    方程式 Sin3x=Cosx (0<=x<2Pi)を解け。

    に対して、両辺のグラフを描いて、
    x=1/4Pi、5/8Pi、9/8Pi、5/4Pi、13/8Pi

    を得ましたが、代数的に解くにはどうしたらいいのでしょうか?
    ご教授お願いします。
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■49392 / ResNo.1)  Re[1]: 三角方程式
□投稿者/ らすかる 一般人(18回)-(2019/05/22(Wed) 02:46:10)
    2019/05/22(Wed) 02:49:25 編集(投稿者)

    sin3x=cosx
    三倍角の公式により
    {4(cosx)^2-1}sinx=cosx
    x=(1/2)π,(3/2)πのときsin3x≠cosxなのでcosx≠0であり
    sinx/cosx=tanx, (cosx)^2=1/{1+(tanx)^2}なので
    {4/{1+(tanx)^2}-1}tanx=1
    整理して
    (tanx)^3+(tanx)^2-3tanx+1=0
    因数分解して
    (tanx-1){(tanx)^2+2(tanx)-1}=0
    tanx-1=0のときtanx=1からx=(1/4)π, (5/4)π
    (tanx)^2+2(tanx)-1=0のとき
    2(tanx)=1-(tanx)^2
    2(tanx)/{1-(tanx)^2}=1 (∵tanx=±1は不適なので1-(tanx)^2≠0)
    tan2x=1
    0≦2x<4πなので
    2x=(1/4)π, (5/4)π, (9/4)π, (13/4)π
    ∴x=(1/8)π, (5/8)π, (9/8)π, (13/8)π

    従って
    x=(1/8)π, (1/4)π, (5/8)π, (9/8)π, (5/4)π, (13/8)π

    # もちろん、(tanx)^2+2(tanx)-1=0からtanx=-1±√2と出して
    # tanx=-1±√2を満たすxがわかればそれでもOKです。

    # 掛け流しさんの答えでは(1/8)πが抜けていますね。
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■49396 / ResNo.2)  Re[2]: 三角方程式
□投稿者/ 掛け流し 一般人(6回)-(2019/05/27(Mon) 22:23:46)
    らすかる様
    いつもご教授ありがとうございます。
    理解しました。今後ともよろしくお願いします。
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