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■49494 / 親記事)  大小の比較
  
□投稿者/ lim-0 一般人(1回)-(2019/06/29(Sat) 18:15:42)
    わからないのでご助言お願いします。
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■49496 / ResNo.1)  Re[1]: 大小の比較
□投稿者/ らすかる 一般人(21回)-(2019/06/29(Sat) 23:12:09)
    [5]√(1+1/n)>1なので
    a=[5]√(1+1/n)-1>0
    [5]√(1-1/n)<1なので
    0<b=1-[5]√(1-1/n)<1

    (1+a)^5=1+1/n
    (1+a)^5/5=1/5+1/(5n)=1/5+c
    1/5+a+2a^2+2a^3+a^4+a^5/5=1/5+c
    ∴c=a+2a^2+2a^3+a^4+a^5/5>a

    (1-b)^5=1-1/n
    (1-b)^5/5=1/5-1/(5n)=1/5-c
    1/5-b+2b^2-2b^3+b^4-b^5/5=1/5-c
    ∴c=b-2b^2+2b^3-b^4+b^5/5
    =b-2b^2(1-b)-b^4(1-b/5)<b
    よって a<c<b

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■49497 / ResNo.2)  Re[2]: 大小の比較
□投稿者/ lim-0 一般人(2回)-(2019/06/29(Sat) 23:30:06)
    回答ありがとうございます。
    ただ問題にもあるように相加相乗平均の
    不等式を使った解法はありませんでしょうか?
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■49498 / ResNo.3)  Re[3]: 大小の比較
□投稿者/ らすかる 一般人(22回)-(2019/06/30(Sun) 00:43:51)
    「『n=5のときの』相加・相乗平均」というのはどういう意味ですか?
    nに5を代入して比較しても意味がないと思うのですが。

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■49499 / ResNo.4)  Re[3]: 大小の比較
□投稿者/ らすかる 一般人(23回)-(2019/06/30(Sun) 00:56:39)
    もし「n=5のときの」が「5数の」の間違いならば
    {1+1+1+1+(1-1/n)}/5≧[5]√{1・1・1・1・(1-1/n)}
    等号成立条件は1=1=1=1=1-1/nのときだがこれは成り立たない。
    またこの式は1-1/n=0のときも明らかに成り立つ。
    1-1/(5n)>[5]√(1-1/n)
    1-[5]√(1-1/n)>1/(5n)
    ∴b>c
    {1+1+1+1+(1+1/n)}/5≧[5]√{1・1・1・1・(1+1/n)}
    等号成立条件は1=1=1=1=1+1/nのときだがこれは成り立たない。
    1+1/(5n)>[5]√(1+1/n)
    1/(5n)>[5]√(1+1/n)-1
    ∴c>a
    よってb>c>a

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■49502 / ResNo.5)  Re[4]: 大小の比較
□投稿者/ lim-0 一般人(3回)-(2019/07/01(Mon) 00:41:03)
    n=5なのでnに5を代入した数です。
    つまり
    a=[5]√(1+1/5) - 1, b=1 - [5]√(1-1/5), c=1/25
    の時の比較をすることです。
    なぜ意味がないのかおしえて頂きたいです。
    よろしくお願いします。

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■49503 / ResNo.6)  Re[5]: 大小の比較
□投稿者/ らすかる 一般人(24回)-(2019/07/01(Mon) 00:58:10)
    2019/07/01(Mon) 03:33:46 編集(投稿者)

    問題文は「nが自然数のときの大きさを比較せよ」であって、
    「n=5のときの大きさを比較せよ」ではありません。
    n=5を代入して相加・相乗平均を使っても、
    n=5のときの大きさの比較しかできませんし、
    それにn=5のときに「普通の」相加・相乗平均の式
    (a+b)/2≧√(ab)を使ってもおそらく解けません。
    第一、n=5の場合だけ比較すればよいのであれば、
    問題が最初から
     a=[5]√(1+1/5) - 1, b=1 - [5]√(1-1/5), c=1/25
     の大きさを比較せよ
    となっているはずです。

    5という数が5乗根の5とも合っていますので、
    「n=5のときの相加・相乗平均」というのはおそらく
    一般の相加相乗平均の式
    (Σ[k=1〜n]a[k])/n≧(Π[k=1〜n]a[k])^(1/n)
    で「n=5の場合」、すなわち5変数の相加相乗平均のことを
    言っているものと思います。
    実際、そのように解釈すれば
    私が49499に書いたように
    5変数の相加相乗平均の式を使って
    一般のnに対して大きさの比較が正しくかつ簡潔にできます。

    # このレベルの問題不備は入試問題ではあり得ませんので、
    # 先生あたりが作った問題ではないかと思いますが、
    # この問題を出される前に「n変数の相加相乗平均の式」を
    # 習ったのではありませんか?
    # もしそうなら、合点がいきます。
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■49504 / ResNo.7)  Re[1]: 大小の比較
□投稿者/ だいきち 一般人(1回)-(2019/07/01(Mon) 08:44:21)
    らすかるさんが全て正しいのでダメ押しですが...

    この問題の出展は2002年名古屋大学文系の入試問題で、
    原文には
    (n=5のときの相加・相乗平均を用いよ。)
    なんてありません。
    ヒントを付け加えた人がうっかりさんで
    不注意に「n=5」なんて書いただけです。
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