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■50431 / 親記事)  ベクトル解析
  
□投稿者/ 絶対といてやるマン 一般人(1回)-(2020/08/08(Sat) 03:03:49)
    xyz空間内のベクトル場u=(z,2,x+y+z)と円環cについてI=∫cu・drとする。
    (1)I=0となるc1の例をあげよ
    (2)I=πとなるc2の例をあげよ
    という問題がわからなくて困っています。
    お願いします
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■50434 / ResNo.1)  Re[1]: ベクトル解析
□投稿者/ X 一般人(4回)-(2020/08/09(Sun) 00:09:01)
    2020/08/09(Sun) 00:18:46 編集(投稿者)

    まずは前準備。
    ↑a=rot↑u (A)
    とするとストークスの定理により
    I=∫∫[T](↑a・↑n)dS (B)
    (但し
    TはCを境界とする閉曲面
    ↑nはTにおける単位法線ベクトル)
    又、(A)より
    ↑a=(1,0,0)

    以下、円環C[n](n=1,2)を境界とする
    閉曲面をT[n]とします。


    (1)
    ↑a⊥↑n
    になるようにTを取ると
    I=0
    ∴C[1]はyz平面に平行な平面上にある
    円環であれば何でもよく、例としては
    C[1]={(x,y,z)|y^2+z^2=1,x=0}

    (2)
    ↑n=↑a
    となるようにTを取ると
    I=∫∫[T]dS=(Tの面積)
    よってC[2]は、xy平面に平行な平面上
    にあり、T[2]の面積がπであることから
    半径1の円環であればよいので、例えば
    C[2]={(x,y,z)|x^2+y^2=1,z=0}
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