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■50729 / ResNo.10)  Re[10]: 期待値
  
□投稿者/ ゴリラ 一般人(7回)-(2021/04/21(Wed) 00:35:13)
    分かりました。有難うございます。
    
    他の解法に興味が移ってきました。
    こちらについても教えてください。
    
    時刻nまでにk(k=1,2,3,4)個の頂点に位置した確率をそれぞれp_1,p_2,p_3,p_4とします。
    求めたい期待値は
    p_1+2*p_2+3*p_3+4*p_4
    =
    p_1 +
    p_2 + p_2 +
    p_3 + p_3 + p_3 + 
    p_4 + p_4 + p_4 + p_4
    
    なので、4=4*(p_1+p_2+p_3+p_4)から
    
          p_1 + p_1 + p_1
              + p_2 + p_2
                    + p_3
    
    を引けばいいわけですよね?
    これって簡単に計算できますか?
    
    横ではなく縦に足すと
    p_1 + p_2 + p_3 = 3頂点 "以下" に位置した確率
    p_1 + p_2       = 2頂点 "以下" に位置した確率
    などとなって、うまく計算できるような気もするのですが…わかりませんでした。
    最終的な答えとすり合わせると、この値が大変簡明な姿になることは分かっているのですが、
    どうすればそうなるのか思いつかなくてもやもやです。

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■50730 / ResNo.11)  Re[11]: 期待値
□投稿者/ らすかる 一般人(38回)-(2021/04/21(Wed) 02:41:40)
    時刻nまでに1頂点(以下)に位置した確率は、
    時刻nまで動かない確率なので(1/4)^nです。
    時刻nまでに2頂点以下に位置した確率は、
    正四面体OABC(時刻0でPがいる頂点がO)において
    AにもBにも行かない確率は(1/2)^n
    BにもCにも行かない確率は(1/2)^n
    CにもAにも行かない確率は(1/2)^n
    この3つを足すと「Oから移動しない確率」が3回足されて
    重複してしまいますので、その分を引けば
    2頂点以下に位置した確率は3・(1/2)^n-2・(1/4)^n
    と計算されます。
    時刻nまでに3頂点以下に位置した確率は、
    Aに行かない確率は(3/4)^n
    Bに行かない確率は(3/4)^n
    Cに行かない確率は(3/4)^n
    これを足すと「2頂点以下」3通りがそれぞれ2重複しますのでそれを引いて
    引きすぎた1頂点の確率を足すことにより
    3・(3/4)^n-3・(1/2)^n+(1/4)^n
    と計算されます。
    よって「1頂点」+「2頂点以下」+「3頂点以下」
    ={(1/4)^n}+{3・(1/2)^n-2・(1/4)^n}+{3・(3/4)^n-3・(1/2)^n+(1/4)^n}
    =3・(3/4)^n
    となります。

    しかし上記の計算は重複分の考慮がやや難しい(混乱しやすい)ので、
    以下のように("以下"にせずに)具体的に考えた方が確実のような気がします。
    時刻nまでに
    Oのみ (1/4)^n
    OとA (1/2)^n-(1/4)^n
    OとB、OとCも同じ
    OとAとB (3/4)^n-2{(1/2)^n-(1/4)^n}-(1/4)^n=(3/4)^n-2(1/2)^n+(1/4)^n
    OとBとC、OとCとAも同じ
    よって期待値は
    4-3・(1/4)^n-2・3{(1/2)^n-(1/4)^n}-1・3{(3/4)^n-2(1/2)^n+(1/4)^n}
    =4-3(3/4)^n

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■50731 / ResNo.12)  Re[12]: 期待値
□投稿者/ name 一般人(1回)-(2021/04/21(Wed) 14:13:59)



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■50736 / ResNo.13)  Re[12]: 期待値
□投稿者/ ゴリラ 一般人(8回)-(2021/04/21(Wed) 20:19:11)
    3^(n+1)/4^nがすっきりしているので期待してしまいました。
    ありがとうございました。
解決済み!
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