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■50825 / 親記事) 　積と和が一致する自然数の組
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□投稿者/ がじゅまる 一般人(1回)-(2021/06/08(Tue) 16:15:39)
    nは2以上の自然数で、n個の自然数a[1],a[2],・・・,a[n]として
    Π[k=1,n]a[k]=Σ[k=1,n]a[k]を満たすものが存在することを示せ。
    解き方を教えてください。よろしくお願いします。
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■50826 / ResNo.1) 　Re[1]: 積と和が一致する自然数の組
□投稿者/ らすかる 付き人(56回)-(2021/06/08(Tue) 16:50:05)
    1≦k≦n-2のときa[k]=1, a[n-1]=2, a[n]=n
    とすれば和も積も2nになりますね。

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■50827 / ResNo.2) 　Re[1]: 積と和が一致する自然数の組
□投稿者/ がじゅまる 一般人(2回)-(2021/06/08(Tue) 19:35:16)
    らすかる様、早速の回答ありがとうございます。
    追加で質問させてください。(らすかる様以外の方の回答も大歓迎です。)

    (1)存在を示すので具体的な値を提示できれば十分なことは理解できます。
    ただ、今後類似の問題への応用力を付けたいので、どの様な方法で
    1≦k≦n-2のときa[k]=1, a[n-1]=2, a[n]=n
    という値を見い出したのか教えてください。

    (2)上記の値以外に問題の条件を満たす値はあるのでしょうか？
    値は有限個でしょうか？それとも無数にあるのでしょうか？

    xとyを自然数としてxy=x+yなら、xy-x-y=0から(x-1)(y-1)=1と変形でき、
    x-1とy-1は負でない整数だからx-1=y-1=1で、
    n=2のときはx=y=2という値のみとなると思います。
    しかし、n≧3のときはお手上げです。

    よろしくお願いします。
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■50828 / ResNo.3) 　Re[2]: 積と和が一致する自然数の組
□投稿者/ らすかる 付き人(57回)-(2021/06/08(Tue) 21:29:02)
    n=2のときは2+2=2×2=4は誰でも知っていますね。
    以下a[1]≦a[2]≦…≦a[n]とします。
    n=3のとき
    もしa[1]≧2だとするとa[2]≧2なので(積)≧4a[3]
    しかしa[1]≦a[2]≦a[3]から(和)≦3a[3]なので(和)＜(積)となり成り立ちません。
    よってa[1]=1です。
    このとき1+a[2]+a[3]=a[2]a[3]から(a[2]-1)(a[3]-1)=2なのでa[2]=2,a[3]=3と決まります。
    n=4のとき
    n=3のときと同様、もしa[1]≧2だとすると(積)≧8a[4]、(和)≦4a[4]となり不適なのでa[1]=1
    a[1]=1として、もしa[2]≧2だとすると(積)≧4a[4]、(和)＜4a[4]（∵a[1]＜a[2]）となり不適なのでa[2]=1
    このとき1+1+a[3]+a[4]=a[3]a[4]から(a[3]-1)(a[4]-1)=3なのでa[3]=2,a[4]=4と決まります。
    勘が良ければこの辺で
    2,2
    1,2,3
    1,1,2,4
    から
    1,1,1,…,1,2,n
    で成り立ちそうだと気づきますが、気づかなければもう一つ
    n=5のとき
    a[1]≧2のとき(積)≧16a[5]、(和)≦5a[5]で不適
    a[1]=1,a[2]≧2のとき(積)≧8a[5]、(和)＜5a[5]で不適
    a[1]=a[2]=1,a[3]≧2のとき(積)≧4a[5]、(和)≦4a[5]から(1,1,2,2,2)で成り立つ
    a[1]=a[2]=a[3]=1の場合は(a[4]-1)(a[5]-1)=4からa[4]=2,a[5]=5またはa[4]=a[5]=3
    よってn=5のときの解は
    (1,1,2,2,2),(1,1,1,3,3),(1,1,1,2,5)の3通り
    ここまでやれば
    (a[2]-1)(a[3]-1)=2
    (a[3]-1)(a[4]-1)=3
    (a[4]-1)(a[5]-1)=4
    という計算をしたことから、同様の計算で行けることに気づくと思います。

    つまりn≦4では解は1組ですが、n≧5では解は1つとは限りません。

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■50829 / ResNo.4) 　Re[1]: 積と和が一致する自然数の組
□投稿者/ WIZ 一般人(4回)-(2021/06/09(Wed) 17:37:25)
    横から失礼します。

    値をソートして 1 ≦ a[1] ≦ a[2] ≦ ・・・ ≦ a[n-1] ≦ a[n] とすると、
    1 ≦ k ≦ n で a[k]/a[n] ≦ 1 です。

    a[1]a[2]・・・a[n-1]a[n] = a[1]+a[2]+・・・+a[n-1]+a[n]
    ⇒ a[1]a[2]・・・a[n-1] = (a[1]/a[n])+(a[2]/a[n])+・・・+(a[n-1]/a[n])+(a[n]/a[n]) ≦n

    つまり、a[1]a[2]・・・a[n-1] は n 以下の自然数を因数分解したものとなります。
    n 以下の自然数は有限個です。

    また、個々の自然数を n-1 の自然数の積で表す表現数は、
    a[1]a[2]・・・a[n-1] = k ≦ n ならば、1 ≦ a[1] ≦ k, 1 ≦ a[2] ≦ k, ・・・, 1 ≦ a[n-1] ≦ k なので、
    (a[1], a[2], ・・・, a[n-1]) の組の数は高々 k^(n-1) 個となり、表現数も有限通りといえます。

    (a[1], a[2], ・・・, a[n-1]) の各組に対して、a[1]a[2]・・・a[n-1] = k, a[1]+a[2]+・・・+a[n-1] = m
    とすると、k*a[n] = m+a[n] となり、この a[n] 対する1次方程式が解ける場合は、
    自然数になるとは限らないが a[n] の値は一意に決まりますので、
    題意の解の個数も有限個となります。


    以下、蛇足。

    a[1]a[2]・・・a[n-1] = 1 つまり a[1] = a[2] = ・・・ = a[n-1] = 1 とすると、
    a[n] = (n-1)+a[n] ⇒ 0 = n-1 > 0 と矛盾。n ≧ 2 なので。

    a[1]a[2]・・・a[n-1] = k ≧ 2 で a[1] = a[2] = ・・・ = a[n-2] = 1, a[n-1] = k とすると、
    k*a[n] = (n-2)+k+a[n] ⇒ a[n] = (n-2+k)/(k-1) = 1+(n-1)/(k-1)
    k = 2 なら a[n] = 1+(n-1)/(2-1) = n。これはらすかるさんの提示した解。

    一般に n = m(k-1)+1 という形なら、a[n] = 1+m となる解があります。
    5 = 1*(5-1)+1 ⇒ m = 1, k = 5 ⇒ (1, 1, 1, 5, 2) #大小関係が崩壊してますが!
    5 = 2*(3-1)+1 ⇒ m = 2, k = 3 ⇒ (1, 1, 1, 3, 3)
    5 = 4*(2-1)+1 ⇒ m = 4, k = 2 ⇒ (1, 1, 1, 2, 5)
    # a[1] = a[2] = ・・・ = a[n-2] = 1 という場合のみの解ですので、
    # a[n-2] 以前に 2 以上の値があるパターンは上記方法では網羅できません。
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■50842 / ResNo.5) 　Re[1]: 積と和が一致する自然数の組
□投稿者/ がじゅまる 一般人(3回)-(2021/06/12(Sat) 21:55:20)
    らすかる様、WIZ様解説ありがとうこざいます。
    お礼が遅くなりごめんなさい。

    ある程度の試し算は必要だけど値は求められるのですね。
    また条件を満たす値が有限個であることが分かりました。

    ありがとうございました。
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