[戻]-50499/親
複素関数の部分分数分解
Megumi
実感数では
1/(1-t^2)^2 = a/(1-t) + b/(1-t)^2 + c/(1+t) + d/(1+t)^2.
1 = a(1-t)(1+t)^2 + b(1+t)^2 + c(1-t)^2(1+t) + d(1-t)^2
= a(1+t-t^2-t^3) + b(1+2t+t^2) + c(1-t-t^2+t^3) + d(1-2t+t^2)
= a + b + c + d + (a+2b-c-2d)t + (-a+b-c+d)t^2 + (-a+c)t^3.
a + b + c + d = 1.
a + 2b - c - 2d = 0.
- a + b - c + d = 0.
-a + c = 0.
∴a = b = c = d = 1/4.
これにならって
1/(z^2+1) = 1/(z+√2i)(z-√2i) = α/(z+√2i) + β(z-√2i)
1 = α(z-√2i) + β(z+√2i)
= αz + βz - α√2i + β√2i
= z(α+β) - √2i(α-β)
α+β = 0
α-β = -1/√2i
2α = 1/√2i. α = 1/2√2i. β = -1/2√2i
∴α/(z+√2i) + β(z-√2i) = 1/2√2i( 1/(z+√2i) - 1/(z-√2i) )
とやったのですが、これでいいのでしょうか？
09/20 13:09
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