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岩波講座基礎数学集合の補題6.1についての質問

数学教えてマン

岩波講座基礎数学集合p117の補題6.1の証明について理解できない部分があります．補題とその証明は次のような流れになっています．

補題6.1
$2$\alpha$ を順序数， $2$s\subset\alpha$ とし， $2$s$ を整列集合と考える．ここで $2$\beta=\text{ord}\;s$ とすれば $2$\beta\subset\alpha$ .

証明
$2$f:s\rightarrow\beta$ を $2$s$ から $2$\beta$ の上への順序同型写像とする． $2$s=\phi$ のときは明らかなので， $2$s\neq\phi$ の場合を考える． $2$s$ の元 $2$x$ ， $2$\beta$ の元 $2$f(x)$ はともに順序数と考えられるから， $2$f(x)\subset x$ もしくは $2$x\subset f(x)$ が成り立つ．もし $2$f(x)\subset x$ が任意の $2$x\in s$ について成り立つなら， $2$f[s]\subset s$ であるから $2$\beta=f[s]\subset s\subset \alpha$ より成立．いま $2$c=\lbrace x\in s|x \subsetneq f(x) \rbrace$ とし矛盾を導く． $2$x_0=\min c$ とおくと， $2$x\subsetneq x_0$ なる $2$s$ の元 $2$x$ に対しては $2$f(x)\subset x\subsetneq x_0$ ， $2$x_0\subset x$ なる $2$s$ の元 $2$x$ に対しては $2$f$ が順序を保つから $2$x_0\subsetneq f(x_0)\subset f(x)$ となり， $2$x_0 \notin f[s]$ となる．一方 $2$x_0\in f(x_0)$ ， $2$f(x_0)\in\beta$ なので $2$x_0\in\beta$ となり矛盾．

ここでわからないのは $2$x_0\notin f[s]$ となることです。 $2$f[s]= \bigcup_{x \in s} f(x)$ なので、 $2$x_0\subsetneq f(x_0)\subset f(x)$ から、 $2$x_0\in f[s]$ だと思ったのですが、私のどの段階で誤解が生じているのでしょうか？

なおプレビューが正常にできていないと思いますが，「a [\subsetneq] b」は「aはbの真部分集合」を意味します．

教えていただけると幸いです。

よろしくお願いします。

07/17 15:21
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(07/17 16:03)

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