行列 A=( a b c d ) には次に示すハミルトンの等式が成り立つ。

A 2 −( a+d )A+( ad−bc )E=O

この等式は，行列の次数を下げるのに用いられる。

A 2 =( a+d )A−( ad−bc )E

のように式を変形すると，次数をひとつ下げることができる。

【証明】
A 2 −( a+d )A+( ad−bc )E = ( a b c d )( a b c d )−( a+d )( a b c d )+( ad−bc )( 1 0 0 1 ) = ( a 2 +bc ab+bd ac+cd bc+ d 2 )−( a 2 +ad ab+bd ac+cd ad+ d 2 )+( ad−bc 0 0 ad−bc ) = ( bc−ad 0 0 bc−ad )+( ad−bc 0 0 ad−bc ) = ( 0 0 0 0 ) = O

となり，証明された。　

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