重心の定義：
　三角形の各頂点と対辺の中点を結ぶ線分の交点。
　（右の図の点Gが重心）

特徴：
　AG：A'G＝BG：B'G＝CG：C'G＝2：1

証明：

△AGB'の面積をS1、△AGC'の面積をS2、
△BGC'の面積をS3、△BGA'の面積をS4、
△CGA'の面積をS5、△CGB'の面積をS6、
とする。
A'、B'、C' は各辺の中点であるから、
S4＝S5･･････(1)
S6＝S1･･････(2)
S2＝S3･･････(3)
△AA'Bの面積（S2+S3+S4）＝△AA'Cの面積（S5+S6+S1）･･･(4)
△BB'Cの面積（S4+S5+S6）＝△BB'Aの面積（S1+S2+S3）･･･(5)
△CC'Aの面積（S6+S1+S2）＝△CC'Bの面積（S3+S4+S5）･･･(6)
(1)、(4)より
S2+S3＝S6+S1･･････(7)
(1)、(2)、(7)より
S1＝S2＝S3＝S6･･････(8)
(2)、(5)より
S4+S5＝S2+S3･･････(9)
(1)、(3)、(9)より
S2＝S3＝S4＝S5･･････(10)
(8)、(10)より
S1＝S2＝S3＝S4＝S5＝S6･･････(11)
△AGBの面積(S2+S3)：△A'GBの面積(S4)＝2：1（(11)より）
∴AG：A'G＝2：1

同様にして、BG：B'G＝2：1

同様にして、CG：C'G＝2：1

【関連ページ】
数学A