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点 ( x 0 , y 0 ) から直線 ax+by+c=0 への垂線の長さは，
（言い換えると 点 ( x 0 , y 0 ) と直線 ax+by+c=0 との距離は，）

| a x 0 +b ｙ 0 +c | a 2 + b 2

【導出計算】

点 ( x 0 , y 0 ) をＰ点とする。このＰ点から直線 ax+by+c=0へ下ろした垂線の足を点Ｑとし，その座標を ( x 1 , y 1 ) をとする。垂線の長さＰＱは

PQ=| PQ ⟶ |= ( x 1 − x 0 ) 2 + ( y 1 − y 0 ) 2    ( ∵ PQ ⟶ =( x 1 − x 0 , y 1 − y 0 ) ) ･･････(1)

次に，直線の方向ベクトル m → を求める。
y=− a b x− c b より
m → =( 1,− a b )

m → と PQ ⟶ のなす角は90°より
PQ ⟶ · m → =( x 1 − x 0 )·1+( y 1 − y 0 )·( − a b )=0
よって，
x 1 − x 0 =( y 1 − y 0 )·( a b )   ･･････(2)
(1)に(2)を代入すると，
PQ = { ( y 1 − y 0 )·( a b ) } 2 + ( y 1 − y 0 ) 2 = ( y 1 − y 0 ) 2 a 2 + b 2 b 2   ･･････(3)
次に， y 1 の消去を図る。点Qが直線上にあることより，
a x 1 +b y 1 +c=0
よって，
x 1 =− b a y 1 − c a   ･･････(4)
(4)を(2)に代入すると，
− b a y 1 − c a − x 0 =( y 1 − y 0 )·( a b )
( − b a − a b ) y 1 = x 0 − a b y 0 + c a
− a 2 + b 2 ab y 1 = x 0 − a b y 0 + c a
y 1 = −1 a 2 + b 2 ( ab x 0 − a 2 y 0 +bc )
よって，
y 1 − y 0 = −1 a 2 + b 2 ( ab x 0 − a 2 y 0 +bc )− y 0 = −1 a 2 + b 2 ( ab x 0 + b 2 y 0 +bc ) = −b a 2 + b 2 ( a x 0 +b y 0 +c )   ･･････（5）
(5)を(3)代入して
PQ= | a x 0 +b y 0 +c | a 2 + b 2
が得られる。