a n+2 −α a n+1 = β( a n+1 −α a n ) のように a n+1 −α a n が等比数列の形になるようにもっていく

もっていき方：
a n+2 −α a n+1 = β( a n+1 −α a n ) を下記のように整理する。

a n+2 =( α+β ) a n+1 −αβ a n

a n+1 ， a n の係数を比較すると

α+β=p,αβ=−q  ･･････(1)

となる。 α ， β は， a n+2 = x 2 ， a n+1 =x ， a n =1 とおいたときの2次方程式
x 2 =px+q  → x 2 −px−q=0  （この方程式を特性方程式という）
の解と同じである。（2次方程式の解と係数の関係を参照）よって， α ， β を求めることができる。
(1) α ， β は対称なので α ， β を入れ替えることができる。
よって，2つの関係式が得られる。

a n+2 −α a n+1 = β( a n+1 −α a n ) ･･････(2)
a n+2 −β a n+1 = α( a n+1 −β a n ) ･･････(3)

(2)より
a n+1 −β a n =α( a n −β a n−1 )= α 2 ( a n−1 −β a n−2 )=⋅⋅⋅⋅⋅⋅= α n−1 ( a 2 −β a 1 ) ･･････(4)
（ a 1 ：初項 ， a 2 ：第2項）
(3)より
a n+1 −α a n =β( a n −α a n−1 )= β 2 ( a n−1 −α a n−2 )=⋅⋅⋅⋅⋅⋅= β n−1 ( a 2 −α a 1 ) ･･････(5)
(4)−(5)より，
( α−β ) a n =( α n−1 − β n−1 ) a 2 −αβ( α n−2 − β n−2 ) a 1
α≠β のとき，
a n = ( α n−1 − β n−1 ) a 2 −αβ( α n−2 − β n−2 ) a 1 ( α−β )
α=β のとき，
a n+1 −α a n = α n−1 ( a 2 −α a 1 ) となり，タイプ3の漸化式となる。 a n の求め方はタイプ3を参照