（n を含む式）をf (n) とおく。

１．f (n) −f (n −１) ＝d （d :定数）となる場合
a n+1 = p a n + f( n ) −) α = p α + f( n−1 ) ¯ a n+1 −α = p( a n −α ) +d

b n+1 =p b n +d  タイプ3の形になる。 b n 求め方はタイプ3を参照

a n = b n −α

２．f (n) ＝rf (n −１) （r :定数）となる場合　

両辺をf (n +１) 割ると，

a n+1 f  (n+1) =p a n f  ( n+1 ) + f  ( n ) f  ( n+1 )
a n+1 f  (n+1) = p r a n f  ( n ) + 1 r    ( ∵f  (n+1)=rf  (n) )
a n f  ( n ) = b n とおくと，

b n+1 = p r b n + 1 r タイプ3の形になる。 b n 求め方はタイプ3を参照

a n =f( n ) b n

３．その他の場合

a n を　具体的に書き出す推定証明　の手順で求める。証明には帰納法を使うとよい。