微分する関数 f( x ) が整式の累乗の和および積の形の場合、対数を取って微分すると積が和、商が差になり計算が簡単になる。このような微分方法を対数微分法という。

対数微分法の手順を y=f( x ) を使って詳しく説明する。

y=f( x )

両辺の自然対数をとる。

logy=logf( x )

次に，両辺を x で微分する。

d dx logy= d dx logf( x )

合成関数の導関数の考え方により式を変形する。

( d dy logy ) dy dx =( d df( x ) logf( x ) ) d dx f( x ) 1 y dy dx = 1 f( x ) f ′ ( x ) dy dx = y f( x ) f ′ ( x ) dy dx = f ′ ( x )

となり，両辺の対数をとっても、導関数 f ′ ( x ) が求まることがわかる。　

【具体的事例】

y= ( x+3 ) 2 2x+1  の導関数を求める。

logy=log ( x+3 ) 2 2x+1 logy=2log( x+3 )− 1 2 log( 2x+1 ) 1 y dy dx = 2 x+3 − 1 2 · 2 2x+1 1 y dy dx = 2( 2x+1 )−( x+3 ) ( x+3 )( 2x+1 ) 1 y dy dx = 3x−1 ( x+3 )( 2x+1 ) dy dx = ( x+3 ) 2 2x+1 · 3x−1 ( x+3 )( 2x+1 ) = ( x+3 )( 3x−1 ) ( 2x+1 ) 3

分数関数の微分の公式を使うより計算は簡単である。

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