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出題校：センター試験 2000年度 本試験 数学I・数学A 解答
第1問 （必須問題） （配点 40）
- [1]
-
aを実数とし，2次関数
y=(
a 2 +1
) x 2
+( 2a−3
)x−3
のグラフを
Cとする。
- (1)
- グラフを
Cが
( −1,0
) を通るとする。
このとき，
a=ア
であり，グラフを
Cと
x 軸の交点は
( −1,0
) と
( イ
ウ
,0
) である。また，
x が
0≦x≦3
の範囲にあるとき，この2次関数の最小値は
エオカ
キ
であり，最大値は
クケ
である。
- (2)
- グラフを
Cが
x 軸の
x≧3 部分の1点を通るような
a の範囲は
コサ
≦a≦
シ
ス
である。
-
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| 解き方 |
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| 解答 |
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- [2]
- 東西に延びる道路が南北の道で結ばれている図のような街路樹がある。ある人が地点Pから東西に向かって出発し， 以下の約束(a)，(b)に従い，この街路樹を進み，地点A，B，C，Dのいずれかに到達するものとする。
- （a）
- 西から分かれ道に至ったときは，さいころを振り，3または6の目が出た場合は東に進み，他の目がでた場合は南北の道を進むものとする。
- （b）
- 北または南から分かれた道に至ったときには，東へ進むものとする。
- （1）
- Aに到達する確率は
セ
ソ
である。
- （2）
- Dに到達する確率は
タ
ツチ
である。
- （3）
- BまたはCに到達する確率は
テ
トナ
である。
- （4）
- A，B，C，Dに到達するとき，それぞれ200円，1800円，1800円，900円の賞金を受け取るものとする。このとき，受け取る賞金の期待値は
ニヌネ
円である。
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| 解き方 |
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| 解答 |
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第2問 （必答問題） （配点 40）
- [1]
-
k を実数とし，
x の整式
A ，
B ，
Q を
A=
x 4 +2
x 3 −5
x 2 −5x−4
k 2 +2k+10
B=
x 2 +x−2k−3
Q=
x 2 +x+2k−3
とする。さらに，
R=A−BQ
とおく。このとき，
- (1)
-
R=x+2k+ア
となる。また，
B を
R で割ったときの商は
x−イ
k ，余りは
ウ
k 2 −エ
となる。
- (2)
-
B が
R で割り切れるための必要十分条件は
k=±
オ
カ
である。
- (3)
-
k= 1 2
のとき， Q
を
R で割った余りは
キ
である。
- (4)
-
k=±
オ
カ
であることは， A
が
R で割りきれるための
ク
。（
ク
に当てはまるものを，次の
〜 のうちから選べ。）
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| 必要十分条件である |
 必要条件であるが，十分条件ではない |
 十分条件であるが，必要条件ではない |
| 必要条件でも十分条件でもない |
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| 解き方 |
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| 解答 |
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- [2]
- 四角形ABCDは，円Oに内接し，
AC=ケ
，
AD=コ
であり，円Oの半径は
サ
シス
11
である。
また，△ABCDの面積を
S 1
，△BCDの面積を
S 2 とすると
S 2
S 1
= セ
ソ
である。
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| 解き方 |
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| 解答 |
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第3問 （選択問題） （配点 20）
数列
{ a
n }
は初項
a ，公差
d の等差数列で
a 13 =0
とし，
S n =
∑ k=1
n a
k とおく。また，数列
{ b
n }
は初項
a ，公比
ｒ の等比数列で
b 3 =
a 10 とする。ただし，
a と
r は正の数とする。
- (1)
- このとき，
a+アイ
d=0
である。また，
r= ウ
エ
である。
- (2)
-
S n <0
となるような
n のうちで最小のものは
オカ
である。
- (2)
-
S 10
=25 のとき，
a=キ
であり，
∑ k=1
6 b
k =
クケ
コ
となる。
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| 解き方 |
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| 解答 |
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第4問 （選択問題） （配点 ２０）
平面上に二つの合同な三角形△ABCと△DEFがあり，その頂点はこの順に対応し， 次の条件を満たしている。（図を参照）
- (a)
- どちらの三角形の3頂点も，もう一方の三角形の外側にある。
- (b)
- 頂点Dは直線ACに関して頂点Bの反対側にあり，頂点Eは直線ABに関 して頂点Cの反対側にあり，頂点Fは直線BCに関して頂点Aの反対側にあ
る。
このとき，ある点Gを中心とする回転移動により△DEFを△ABCに，この 順に頂点が対応するようにして，移すことができることを示そう。
次の文章中の，
アイ
，
ウエ
，
カキク
と
ケコサ
に当てはまるものを， 記号A〜Gのうちから選ベ。（アとイ，ウとエ，ケとサは，それぞれ解答の順序を問わない。）
ここでは，直線ADと直線CFが平行でない場合を考えてみよう。
- (1)
- 点Gを中心とする回転移動により△DEFが△ABCに移ったとすると，D がAに移るのだからAG＝
アイ
，同じくCG＝
ウエ
である。ゆえに Gは
オ
でなくてはならない。（
オ
に当てはまるものを，次の 〜
のうちから選ベ。）
| 直線ACと直線DFの交点 |
| 線分ACの垂直2等分線と線分DFの垂直2等分線の交点 |
| 直線ADと直線CFの交点 |
|
線分ADの垂直2等分線と線分CFの垂直2等分線の交点 |
- (2)
- 逆に，Gが
オ
であると，AG＝
アイ
，CG＝
ウエ
で，さらに AC＝DFだから，対応する3辺が等しく，△DGF≡△
カキク
で，この とき頂点Dは頂点
カ
に，頂点Gは頂点
キ
に，頂点Fは頂点
ク
にそれぞれ対応している。したがって，点Gのまわりに角 ∠
ケコサ
だけ回転移動すれば△DGFは△
カキク
に移される。こうし て△DEFは△ABCに移されることがわかる。
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| 解き方 |
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| 解答 |
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第5問 （選択問題） （配点 20）
B ，
C をある範囲内の整数として，2次方程式
X 2 +BX+C=0
について 考える。次のプログラムは，各
B ，
C に対し，この2次方程式が整数の解をもつときは， その解を表示し，もたないときは，「整数の解なし」と表示するもの
である。ただし，
INT（
X ）は
X をこえない最大の整数を与える関数とする。また
K ，
L ，
M ，
N には，
K ≦
L および
M ≦
N を満たす整数を入力するもの とする。
| 100 |
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INPUT "K=";K |
| 110 |
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INPUT "L=";L |
| 120 |
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INPUT "M=";M |
| 130 |
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INPUT "N=";N |
| 140 |
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S=0 |
| 150 |
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FOR B＝K TO L |
| 160 |
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FOR C＝M TO N |
| 170 |
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PRINT "B=";B, "C=2;C |
| 180 |
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GOTO 140 D=B*B-4C |
| 190 |
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PRINT="Y=";Y IF D
ア
0 THEN GO TO
イ
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| 200 |
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E=(-B+SQR((D))/2 |
| 210 |
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IFF E-INT(E)
ウ
0 THEN GOTO
イ
|
| 220 |
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S=S+1 |
| 230 |
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PRINT"解1=";E, "解21=";E-SQR(D) |
| 240 |
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GOTO
エ
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| 250 |
|
PRINT"整数の解なし" |
| 260 |
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NEXT C |
| 270 |
|
NEXT B |
| 280 |
|
PRINT S |
| 290 |
|
END |
- (1)
- 上の
ア
，
イ
，
ウ
，
エ
に当てはまる記号または行番 号を，次の
 〜 のうちから選び，プログラムを完成せよ。
| > |
< |
>= |
<= |
= |
 230 |
 240 |
 250 |
 260 |
270 |
- (2)
-
K ，
L ，
M ，
N にそれぞれ3，6，4，6を入力すると，
オ ≦
B ≦
カ および
キ ≦
C ≦
ク
を満たす整数
B ，
C に対し，2次方程式方
X 2 +BX+C=0
が整数解をもつ かどうか調べることができる。このとき，200行は
ケ
回，220行は
コ
回実行され，280行により画面に表示される5の値は
サ
である。
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| 解答 |
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