出題校：センター試験　2000年度　本試験　数学ＩＩ・数学B　解答

第1問　（必須問題）　（配点　30）

[1]

(1)

　関数

f(x)= 3 x + 3 −x

に対して

f( x−1 )= ア イ · 3 x +ウ · 3 −x

である。また， f( x−1 )=f(x)  を満たす x  を求めると， x= エ オ  であるり，このとき f(x)  の値は  カ キ ク  である。

　

(2)

　関数

y= log 2 ( x 2 +3 )           ・・・・・・

のグラフは，関数

y= log 2 x           ・・・・・・

のグラフを x  軸方向に  ケコ ， y  軸方向に  サシ  だけ平行移動したものである。と のグラフの共有点の座標は

( ス ,1+ log 2 セ )

である。

[2]

　座標平面上の直線  y=3x を ℓ に関してBと対称な点Cとする。

(1)

　直線ABと x  軸の交点D， ∠AOD=θ とすると

tanθ=ソ ， cos= 1 タチ

である。また， ∠CAB=α とおくと

α=ツテト °−ナ θ

であり， cosα= ニ ヌ  となる。

(2)

　△OABの面積を S 1 ，△OBCの面積を S 2 とする。 ∠BOC=ネ a であり

S 1 S 2 = sin2θ sin( ネ a ) = ノ ハ

である。

第2問　（必答問題）　（配点　40）

　 a を0でない字数とし，関数 f(x)  を

f(x)=3a x 2 −( 8a+6 )x+4a+6

により定める。

(1)

　 b ， u ， v を実数， b≠0 として， g(x)=3b x 2 +ux+v とおく。 g(x) が ∫ −1 0 g(x)dx=−6 を満たし，座標平面において， y=g(x) の表す放物線 C が点 ( −1,−9 ) を通るとする。このとき u と v は b を用いて

u=アイ +ウ ， v=エ −オ

と表される。さらに，放物線  y=f(x)  と放物線 C が， y  軸上で共有点をもち，その点における二つの放物線の接線が一致するならば

a=カキ ， b=ク

となり，その接線の方程式は

y=ケコ x−サ

である。

(2)

　 a を，(1)の解のみに限定せずに，0でない実数とする。関数 h(x) を

h(x)= ∫ 0 x f(t)dt

により定める。このとき x=0 および x=2 における h(x) の値と微分係数は，それぞれ

h(0)=シ , h(2)=ス h ′ (0)=セ a+ソ , h ′ (2)=タチ

である。 0≦x≦2 の範囲で  h(x)  が正の値も負の値も両方とるのは

a< ツテ ト

のときである。

第3問　（選択問題）　（配点　20）

　紙片の上に図1のようなひし形 ABCD 0 があり，AB＝AC＝2とする。また，線分ACの中点をOとする。この紙片を，図2のように空間の中で，ACにそって60°だけ折り曲げ，点 D 0 の新しい位置をDとする。

図 1


図 2

(1)

　このとき， OB ⟶ ， OC ⟶ ， OD ⟶ についての内積を求めると

OB ⟶ · OC ⟶ = ア ， OC ⟶ · OD⟶ = イ ， OB ⟶ · OD ⟶ = ウエ オ

となる。

(2)

　 a を 0<a<1 を満たす数とし，線分BDを a:( 1−a ) の比に内分する点Pをとる。このとき

OP ⟶ =( カ −キ ) OB ⟶ +ク OD ⟶ PA ⟶ =( ケ −コ ) OB ⟶ − OC ⟶ −サ OD ⟶ PC ⟶ =( シ −ス ) OB ⟶ + OC ⟶ −セ OD ⟶

である。したがって

PA ⟶ · PC ⟶ =ソ a 2 −タ a+チ

となる。よって， PA ⟶ と PC ⟶ が直交するのは

a= ツ テ , ト ナ

のときである。 ( ツ テ と ト ナ は解答の順序を問わない。 )

第4問　（選択問題）　（配点　２０）

　 k を定数とし， c を正の定数とする。方程式

x 3 −k x 2 +kcx+ c 2 =0           ・・・・・・

を考える。
　方程式が x=−1 を解にもつとする。このとき

k=ア −イ

であり，の左辺は

x 3 −k x 2 +kcx+ c 2 =( x+1 )( x 2 −ウ x+ エ オ )

と因数分解される。
　したがって，−1以外の解で，虚部（虚数単位 i の係数）が正のものを a とすると

a=カ ( キ ク + ケ コ i )

となる。
　複素数平面において，原点をOとし， a ，−1を表す点をそれぞれA，Bとする。三角形OABが二等辺三角形になるのは c=サ  のときである。このとき， α+1 を極形式で表すと

α+1= シ ( cosスセ °+iスセ ° )

であり

( α+1 ) 6 =ソタチ

である。

第5問　（選択問題）　（配点　20）　

　赤い玉が2個，青い玉が3個，白い玉が5個ある。これらの10個の玉を袋に 入れてよくかきまぜ，その中から4個をとり出す。とり出したものに同じ色の玉 が2個あるごとに，これを1組としてまとめる。まとめられた組に対して，赤は 1組につき5点，青は1組につき3点，白は1組につき1点が与えられる。この ときの得点の合計を X  とする。 　

(1)

　 X は  ア  通りの値をとり，その最大値は  イ ，最小値は  ウ   　である。

(2)

　 X が最大値をとる確率は  エ オカ  である。

(3)

　 X が最小値をとる確率は  キク ケコ  である。
　また， X  が最小値をとるという条件の下で，3色の玉がとり出される 条件つき確率は  サ シス  である。

第6問　（選択問題）　（配点　20）

　 n を2以上の整数とする。このとき，座標平面上の点 ( x,y ) で x  と y  が x+y≤n を満たす正の整数であるものの全体に，1，2，……と順に番号をつけるため，次のプログラムをつくった。
　このプログラムでは，たとえば，1番目が点 ( 1,1 ) であれば

1)　1　1

のように出力される。

10		INPUT "n=";N
20		S=0
30		FOR K=2 TO N
40		FOR J=3 TO N
50		FOR X=1 TO  ア
60		PRINT S;")";X;Y
70		NEXT X
80		NEXT K
90		END

(1)

　上のプログラム中の  ア  に，次の  〜  のうちから適当なものを一つ選んでプログラムを完成せよ。

K+1	K	K-1	N+1	N
N-1	N-K+1	N-K	N-K-1

(2)

　このプログラムを実行し，n=?に対して3を入力すると，新たに

1)   イ    ウ
2)   エ    オ
3)   カ    キ

が表示される。

(3)

　このプログラムを実行し，n=?に対して8を入力すると，新たに表示される10番目，20番目および最後から一つ前の行はそれぞれ

10) ク ケ 20) コ サ シス ) セ ソ

(4)

　このプログラムによって点 ( 4,3 ) が表示されるような最小の n は  タ  であり，そのとき，この点は  チツ  番目に表示される。