出題校：センター試験　2000年度　追試験　数学I・数学A　解答

第1問　（必須問題）　（配点　40）

[1]

  aは a 2 −3≠0  を満たす実数とし， C を2次関数

y=( a 2 −3 ) x 2 −2ax+4 a 2 −3≠0           ・・・・・・

のグラフとする。

(1)

　グラフ  C の表す放物線が上に凸で，頂点の x 座標が負であるような a の範囲は  ア <a< イ  である。

(2)

　 a=3  とする。このとき， C  は  x= ウ エ  を軸とする放物線であり，2次関数 の最小値は  オ カ  である。

(3)

　 a=−1 とする。 n を0でない整数とし，グラフ  C を x 軸方向， y 軸方向にそれぞれ 1 n だけ平行移動した放物線を表す2次関数を

y=−2 x 2 +bx+c

とする。このとき， b ， c がともに整数となるような n は n=±キ ， n=±ク  である。（キとクは，解答の順序を問わない。）

[2]

　1から6までの番号のつけられている6枚のカードがあり，横一列に配置 　されている。はじめの配置は1，2，3，4，5，6である。二つのさいころを 　同時に振るたびに，出た目によってカードの配置を変えていく。もし，出た 　二つの目が異なるなら，その目と同じ番号のカードの位置を交摸し，出た目 　が同じなら，カードの位置を変えないものとする。

（1）

　二つのさいころを1回振って配置が変わらない確率は  ケ コ  である。

（2）

　二つのさいころを1回振って，番号1のカードの位置がはじめの配置と 異なる確率は  サ シス  である。

（3）

　二つのさいころを2回振って，番号1，2，3，4の4枚のカードの 位置がどれもはじめの配置と異なる確率は  セ ソタ  である。

（4）

　二つのさいころを2回振って，位置がはじめの配置と異なるカードが 番号1，2，3の3枚のみである確率は  チ ツテ  である。

第2問　（必答問題）　（配点　40）

[1]

　 a を実数とする。

(1)

　 x  の整式 A ， B を

A= x 4 −( a+8 ) x 2 −2ax+4a+1 B= x 2 −2x−a

とする。 A を B で割ったときの商は  x 2 +ア x−イ ，余りは  ウエ x−オ  となる。

(2)

　 p=−1+ 5  とおく。 p は2次方程式

x 2 +2x−カ =0

の解の一つであり，

p 4 −( a+8 ) p 2 −2ap+4a+1=キ −ク ケ

である。また，整数  n  が  コサ  または  シ  に等しいとき

{ p 4 −( a+8 ) p 2 −2ap+4a+1 }+( n 2 +2n 5 )p

は整数となる。

　

[2]

四角形ABCDは，円Oに内接し，

2AB=BC,CD=2,DA=1,cos∠ABC= 5 8

を満たしている。このとき， AC= スセ ソ  である。また，円Oの半径は  2 13 タチツ  で， AB= テ  である。さらに

BD= 4 5 トナ ,cos∠BCD= 2 5 ニ

である。

第3問　（選択問題）　（配点　20）

(1)

　等差数列 { a n } に対して， S n = ∑ k=1 n a k   とおく。ここで，初項 a 1 =38 ，第 ( m+1 ) 項  a m+1 =5 ， とする。
　このとき， m=アイ  であり，公差は  ウエ  である。また， S n は ｎ=オカ  のとき最大となり，その最大値は  キクケ  である。

(2)

　等比数列 { b n } の初項 b 1 と公比 r は正の数とし， T n = ∑ k=1 n b k とおく。この数列 { T n } は 5 T 2 =4 T 4 を満たすとする。
　ここで， T 4 =( r 2 +コ ) T 2 であるので，数列 { b n } の公比は r= サ シ  である。
　　さらに， p を定数とし， U n =p+ T n とおく。 p=スセ b 1 であるならば，数列 { U n } は等比数列となる。

第4問　（選択問題）　（配点　２０）

　円に内接する四角形ABCDの辺の長さを，それぞれ

AB＝4，BC＝3，CD＝2，DA＝6

とする。2直線BCとADの交点をEとし，2直線ABとDCの交点をFとす る。 次の文章中の  アイウ  と  ケコ  〜  セソ  については・当てはまるものを 記号A〜Gのうちから選ベ。（アとイとウ，ケとコ，サとス，セとソは，それ ぞれ解答の順序を問わない。）

(1)

　EC＝ x ，ED＝ y  とおけば，相似な二つの三角形△ アイウ  との対応する辺の比はみな等しいから

x:2=( y+エ ):4 y:2=( x+オ ):4

が成り立つ。ゆえに  x=カ  である。さらに

EC・EB＝ キク           ・・・・・・

である。同様に

　　　FC・FD＝ 160 9           ・・・・・・

である。

(2)

　点Gを，△FBCの外接円と直線EFとの交点でFとは異なる点とすれば，

ケコ ・EF＝EC・EB          ・・・・・・

である。また，4点F，G，C，Bは同一円周上にあり，4点A，B，C，Dも 　同一円周上にあるから

∠FGC＝∠ サシス ＝∠EDC

　となる。これにより4点E，D，C，Gは同一円周上にあることがわかる。し 　たがって，

セソ ・FE＝FC・FD          ・・・・・・

となる。，，，により

EF= 2 3 タチツ

である。

第5問　（選択問題）　（配点　20）

(1)

　次のプログラムを実行する。

130		INPUT "J=";J
140		S=0
150		FOR K=1 TO J
160		S=S+(2*K-1)
170		NEXT K
180		PRINT S
220		END

J=? に対して1，2，3，4を入力すると，180行により，それぞれ  ア ， イ ， ウ ， エオ  と出力される。

(2)

　(1)のプログラムを利用して，次のプログラムを作った。

110		INPUT "N=";N
120		T=0
130		FOR J=1 TO N
140		S=0
150		FOR K=1 TO J
160		S=S+(2*K-1)
170		NEXT K
180		PRINT S;
190		T=T+S
200		NEXT J
210		PRINT T
220		END

　N=? に対して5を入力すると，

ア    イ    ウ    エオ    カキ    クケ

と出力される。また，210行により出力される数が3桁となるような最小の自然数  N  は  コ  であり，そのとき，210行により  サシス  が出力される。