出題校：センター試験　2000年度　追試験　数学ＩＩ・数学B　解答

第1問　（必須問題）　（配点　30）

[1]

　x ， t  は実数で

log 3 ( x+ 3 t )=2t−2

を満たしているとする。

(1)

　 x は t  をもちいて

x= ア イ · 3 ウ t − エ t

と表される。

(2)

　 t=0  のとき， x= オカ キ  である。

(3)

　 x=2· 3 t  のとき， t=ク  である。

(4)

　 x=− 9 4  のとき， t=2− log 3 ケ  である。

[2]

　 a を実数とし，関数

F( x )=asin( x−60° )+asin( x+60° )−2 sin 2 x

を考える。ただし， 0°≦x≦180° とする。

(1)

　 F( x )=( コ −サ sinx )sinx

(2)

　 0°≦x≦180° で常に  F( x )≥0  が成り立つような a の最小値は  シ  である。

(3)

　 0<a≤シ  の場合を考える。
F( x ) は  sinx= ス セ a  のとき最大値  m= ソ タ a チ  をとる。
また， F( x )  の最小値は  ツ −テ  である。
　定数 b を  0<b<m  を満たすようにとるとき， x  に関する方程式  F( x )=b  の解は  ト  個ある。

第2問　（必答問題）　（配点　40）

　座標平面上で三つの曲線

C 1 :y=− x 2 −4x C 2 :y=− x 2 +2x C 3 :y=k( − x 2 +ax+b )

を考える。ただし， a ， b ， k は定数で， k>0  とする。

(1)

　 C 1 と C 2 の交点Pの座標は  ( ア ,イ )  である。

(2)

　点Q ( −4,0 )  における  C 1  の接線の方程式は

y=ウ x+エ

であり点R ( 2,0 )  における  C 2  の接線の方程式は

y=カキ x+ク

である。

(3)

　 C 3  がQ，Rを通るとする。このとき

a=ケコ ， b=サ

である。さらに点Qにおける  C 1  の接線と  C 3  の接線が一致するのは

k= シ ス

のときである。このとき，第2象限において，曲線  C 1 ， C 3  および y  軸で囲まれる部分の面積は  セソ タ  である。

第3問　（選択問題）　（配点　20）

　各辺の長さが1である正四面体OABCにおいて，線分ABの中点をP，線分OBを 2 ： 1 に内分する点をQ，線分OCを 1 ：3 に内分する点をRとする。また， OA ⟶ = a → ， OA ⟶ = b → ， OA ⟶ = c → とおく。

(1)

　次の内積を計算すると

a → · b → = b → · c → = c → · a → = ア イ

である。

(2)

　

PQ ⟶ = ウエ オ a → + カ キ b → PR ⟶ = クケ コ a → + サ シ b → + ス セ c →

であるから

PR ⟶ · PQ= ⟶ ソ タチ

であり，さらに

| PQ ⟶ |= ツ テ ， | PR ⟶ |= ト ナ

を得る。したがって， ∠QPR=θ  とするとき

cosθ= ニ ヌ ネノ

となる。

第4問　（選択問題）　（配点　２０）

　複素平面上で，複素数  α ， β  を表す点をそれぞれA，Bとする。2点A，Bは原点Oを中心とする半径1の円  C  上にあって

2 αβ− 2 α+1+i=0           ・・・・・・

を満たしているとする。このとき， α ， β  を求めよう。

(1)

　 γ= 1 2 ( 1+i )  とするとき，γ  を極形式で表すと

γ=cosアイ °+isinアイ °

となり，γ  を表す点Pも円 C  上にある。

(2)

　等式 を変形すれば， α−γ=αβ  となるので

| α−γ |=ウ

となる。三角形OAPの形を考えれば，点Aは点Pを原点Oのまわりに ±エオ ° だけ回転して得られる点であることがわかる。

(3)

　したがって，虚部（虚数単位   i  の係数）が負となる α の偏角 θ  は， −180°≤θ<180° の範囲では θ=−カキ ° で

α= ク + ケ コ + サ − シ ス i

である。（ ク ， ケ  は解答の順序を問わない。）
　そのとき β  は

β=1− γ α = セ ソ − タ チ i

である。

第5問　（選択問題）　（配点　20）　

　1から6までの数のいずれか一つが書かれたカードが，おのおのの数に対して 一枚ずつ，合計6枚ある。これらをよく切った上で，左から右に一列に6枚並べ る。カードに書かれた数を左から順に，和がはじめて11以上となるまで加える。このとき，加えた数の個数と最後に加えた数を，それぞれ確率変数 X ， Y  とす る。

(1)

　 X のとり得る値は ア   通りである。

(2)

　 X=1  となる確率は  イ ウエ  である。

(3)

　 X=x のとき，カードに書かれた数を， 今度は右から順に和がはじめて11 以上となるまで加える。このとき，加えた数の個数は  オ −x  である。

(4)

　 X=1  となる確率は  カキ クケ  である。

(5)

　条件 X=3  の下で， Y=1  のなる条件つき確率は コ サシ  である。

第6問　（選択問題）　（配点　20）

　 n を3以上の整数とする。 1≦u<v<w≦n  を満たすような3個の整数 u v w  の組をすべて求めるため，次のようなプログラムを作った。

100		INPUT "n=";N
110		S=0
120		FOR U=1 TO N-2
130		FOR V= ア +1 TO N-1
140		W=V+1
150		S=S+1
160		PRINT S;")";U;V;W
170		IF W=N THEN GOTO 190
180		W= イ +1 : GOTO  150
190		NEXT V
200		NEXT U
210		END

(1)

　上のプログラム中の  ア ， イ  に，次の  〜  のうちから適当なものを一つずつ選んでプログラムを完成せよ。

1	2	*	/	N
S	U	V	W

(2)

　このプログラムを実行し，n=?に対して4を入力すると，整数の組が  ウ 個表示され，3行目，4行目の表示はそれぞれ

1)   エ    オ    カ
2)   キ    ク    ケ

となる。

(3)

　このプログラムを実行し，n=?に対して6を入力すると，整数の組が  ウ 個表示され，その中で  2v=u+w  を満たす整数の組は シ 個ある。この  シ   個の中で4番目に表示されるのは

ス    セ    ソ

(4)

　であり，これは  コサ  個の中では  タチ  行目に表示される。