出題校：センター試験　2001年度　本試験　数学ＩＩ・数学B　解答

第1問　（必須問題）　（配点　30）

[1]

(1)

  0°<θ<90° とする。

tanθ+ 1 tanθ = ア sinイ θ tanθ− 1 tanθ = ウエ cosオ sinカ θ

であり，これらを用いて tan15° を求めると

tan15°=キ − ク

である。

(2)

  θ が 15°≤θ≤60° の範囲を動くとき， tanθ+ 1 tanθ は

θ=ケコ ° のとき最小値  サ
θ=シス ° のとき最小値  セ

をとる。

[2]

　方程式

4 ( 2 ) x + 5 2 x =1

の解 x  を求めよう。

X= 1 ( 2 ) x           ・・・・・・

とおくと， X  の方程式

ソ X 2 +タ X−1=0

が得られる。

一方，より X>チ  である。したがって

X= ツ テ

を得る。これから，求める x は

x=ト log 2 ナ

となる。

第2問　（必答問題）　（配点　40）

[1]

( 0,ア a イ )

である。 ℓ と y  軸のまし角が30°となるのは

a= ウ エ

のときである。このとき線分PQの長さは オ であり，Qを中心とし線分PQを半径とする円と放物線 C とで囲まれてできる二つの図形のうち小さい方の面積は

π カ − キ ク

である。

[2]

　関数  y=3sinθ−2 sin 3 θ   ( 0°≦θ≦210° ) の最大値と最小値を求めたい。そのため  sinθ=x  とおくと， y  は

y=3x−2 x 3

と表される。 x  の動く範囲は

ケコ サ ≤x≤シ

であるから， y  は  x= 1 ス  のとき最大値 セ  をとり， x= ソタ チ  のとき最小値  ツテ ト  をとる。
　 θ  の関数としては， y  は

のとき最大

θ=ナニ ° および θ=ヌネノ °

θ=ハヒフ ° のとき最小

である。

第3問　（選択問題）　（配点　20）

　四面体の四つの頂点を，O，L，M，N とする。線分OLを 2 ： 1 に内分する点をPとし，線分MNの中点をQとする。 a と b を1より小さい正の実数とする。線分ONを a:( 1−a ) に内分する点をRとし，線分LMを b:( 1−b ) に内分する点をSとする。 ℓ → = OL ⟶ ， m → = OM ⟶ ， n → = ON ⟶ とおく。

(1)

RS ⟶ =( ア −イ ) ℓ → +ウ m → −エ n → RP ⟶ = オ カ ℓ → −キ n → RQ ⟶ = ク ケ m → +( コ サ −シ ) n →

が成立する。

(2)

　以下　 ℓ → =( 1,0,0 ) ， m → =( 0,1,0 ) ， n → =( 0,0,1 ) の場合を考える。
点Sが3点P，Q，Rのある平面上にあるとする。このとき， RS ⟶ は実数 x  と ｙ  を用いて

RS ⟶ =x RP ⟶ +y RQ ⟶

と表せる。これより

x= ス セ ( 1−b ) ， y=ソ b

となり， a と b は

タチ +ツ −テト =0

を満たすことがわかる。さらに， RP ⟶ と RQ ⟶ が垂直になるのは

a= ナ ニ ， b= ヌ ネ

のときであり，このとき PQ ⟶ と RS ⟶ の内積は

PQ ⟶ · RS ⟶ = ノハヒ フヘ

となる。

第4問　（選択問題）　（配点　２０）

(1)

　方程式

z 3 =2+2i           ・・・・・・

を解こう。
　複素数 2+2i  を極形式で表すと

2+2i=ア イ ( cosウエ °+isinウエ ° )

となる。

z=r( sinθ+isinθ )

とおき，を満たす r ， θ   ( r>0,0°≤θ<360° )  を求めると

r= オ θ=カキ °,クケコ °,255°

となる。
　したがって，複素平面上の第2象限にあるの解は

−サ +i

である。

(2)

　次に方程式

z 6 −4 z 3 +8=0           ・・・・・・

の解について考えよう。
　は ( z 3 −2 )=−シ ，すなわち

z 3 =2±ス i

となるから，(1)と同様に考えると，第2象限にあるの解は(1)でもとめた

−サ +i

と

セ − ソ タ + チ + ツ テ i

の2個であり，他の解は第1象限に1個，第3象限に  ト  個，第4象限に  ナ  個存在する。

注　この問題において複素数平面の象限とは，実軸を x  軸，虚軸を y  軸とした座標平面における象限のことをいう。

第5問　（選択問題）　（配点　20）　

　1枚の硬貨を3回投げ，表が出た回数を X とする。次にさいころを X 回振る。（たとえば X=2 ならば，さいころを2回振ることになる。）そうして，1または2の目が出た回数を Y とする。ただし， X=0 の場合は， Y=0 ときめる。

(1)

  X=2 のとき， Y の取り得る値は，  ア  通りである。

(2)

  X=2 となる確率は， イ ウ  である。
X=2 という条件のもとで， Y=1 となる条件つき確率は  エ オ  である。
したがって， X=2 ， Y=1 となる確率は  カ キ  である。
同様にして
X=1 ， Y=1 となる確率は 1 8 であり
X=3 ， Y=1 となる確率は 1 18 である。
したがって， Y=1 となる確率は  クケ コサ  である。

(3)

　(2)と同様に計算すると
Y=2 となる確率は 5 72 であり
Y=3 となる確率は 1 216 である。
したがって， Y=0 となる確率は  シスセ ソタチ  である。

(4)

　 Y の平均（期待値）は  ツ テ  である。

(5)

　 Y=0 という条件のもとで， X=2 となる条件つき確率は  トナ ニヌネ  である。

第6問　（選択問題）　（配点　20）

　正の整数 a 1 ， a 2 ， c があたえられたときに， s 1 = a 1 とし

s i = s i−1 + a i	( i=2,3,⋯ )	・・・・・・
a i+2 = a i+1 +( s i c の整数部分 )	( i=1,2,3,⋯ )	・・・・・・

によって得られる数の列 a 3 , a 4 ,⋯, a n を表示させるために，次のようなプログラムを作ってみた。
　以下のプログラムにおいてINT(X)はXを超えない最大の整数を与える関数である。

100		INPUT "a1,a2,c=";A,B,C
110		INPUT "n=";N
120		S = A
130		FOR J=3 TO N
140		A = B+INT(S/C)
150		PRINT "a(";J;")=";A
160		B = A
170		S = S+A
180		NEXT J
190		END

このプログラムが意図どおりに動作するかどうか確かめてみる。

(1)

　このプログラムを実行し，a1，a2，c=? に対し，n=? に対して6を入力すると

a(3)=  ア

a(4)=  イ

a(5)=  ウエ

a(6)=34

が表示される。また，a(6) が表示される直前の S の値は  オカ  である。

(2)

　次に，定義の式 ，に従って計算してみる。
a 1 =1, a 2 =1,c=1 とすると

a 3 =キ ， a 4 =ク ， a 5 =ケ ， a 6 =コサ ，・・・

となる。

(3)

　(1)，(2)よりプログラムのどこかに誤りがあることがわかった。このプログラムの160行，170行を修正して，はじめに意図したように動かしたい。

130		FOR J=3 TO N
140		A = B+INT(S/C)
150		PRINT "a(";J;")=";A
160		シ
170		ス
180		NEXT J

の  シ ， ス  に当てはまるものを，次の 〜 のうちから一つずつ選べ。

A = B	B = A	A = A+1	B = B+1
S = S+A	S = S+B	S = A	S = A+B
S = S+1	S = B+1

(4)

　(3)のように修正したプログラムを実行し，a1，a2，c=? に対して1，1，2を，n=? に対して6を入力するとき，a(6) が表示される直前の値は  セ  である。