出題校：センター試験　2002年度　追試験　数学I・数学A　解答

第1問　（必須問題）　（配点　40）

[1]

  a≠0 として，次の二つの2次関数について考える。

y=a x 2 +2ax+a+6	・・・・・・（A)
y= x 2 +bx+2b−6	・・・・・・（B)

である。

(1)

(A)のグラフの頂点は ( アイ ,ウ ) である。

(2)

(B)のグラフを x  軸方向へ1， y  軸方向へ p  平行移動したところ（A)のグラフに重なった。このとき

a=エ  ，  b=オ  ，  p=カ

(3)

（A)のグラフが x  軸と2点P，Qで交わり，線分PQの長さが 2 6 になるのは a=キク  のときである。また，(B)のグラフと x  軸との交点をR，Sとしたとき，線分RSの長さが 2 6 以下になるのは

ケ ≦b≦コ

のときである。さらに，線分RSの長さの最小値は  サ シ

[2]

A，Bの二人がそれぞれ袋をもっている0Aの袋には黒玉が3個と白玉が2個,Bの袋には黒玉が2個と白玉が3個人っている。

(1)

A,Bがそれぞれ自分の袋から1個ずつ玉を取り出す。同じ色の玉が取 　り出されればAの勝ち，そうでなければAの負けとする。Aが勝つ確率は スセ ソタ である。

(2)

A，Bがそれぞれ自分の袋から同時に2個ずつ玉を取り出す。 取り出した4個がすべて黒玉である確率は チ ツテト である。
二人の取り出した黒玉の個数の合計が，偶数ならばAの勝ち，奇数なら ばAの負けとする。ただし，0は偶数に含めるものとする。Aが勝つ確率 は  ナニ ヌネ   である。Aが勝ったときは，二人の取り出した黒玉の個数の 合計をAの得点とし，Aが負けたときは，Aの得点を−1とする。Aの 得点の期待値は  ノハ ヒフ  である。

第2問　（必答問題）　（配点　40）

[1]

(1)

整式

A= x 4 −4 x 3 +6 x 2 +x+5 B= x 2 −ax−1  ,  C= x 2 −x−b

と考える。このとき A−BC は

( a−ア ) x 3 +( b−a+イ ) x 2 −abx−b+ウ

であり， A−BC  が x  についての1次式となるのは a=エ  ， a=-オ  のときである。 。

x= 3+ 13 2  とおくと A=カキ +ク 13  となる。

(2)

実数 a について次の条件を考える。

(a)

  p<1

(b)

  | p |<1

(ｃ)

  | p−1 |<2 3

(d)

 2次関数  y= x 2 +( p−1 )x+3  のグラフの頂点の x  座標， y  座標がともに正である。

　次の ケ ， コ ， サ  について，下の  〜 のうちから当てはまるものをそれぞれ一つずつ選べ。

(c)は(b)であるための  ケ  。
「(a)かつ(c)」は(d)であるための  コ  。
(b)は(d)であるための  サ  。

必要十分条件である

必要条件であるが，十分条件でない

十分条件であるが，必要条件でない

必要条件でも十分条件でもない

[2]

鋭角三角形△ABCを底とする四面体ABCDにおいて，

DA= 3 55 11 ， BC= 3

であり，△ABCの外接円の中心Oと点Dを通る直線は，底面に垂直で

tan∠DAO= 2 ， ∠AOB=− 5 6

を満たしているとする。このとき，

AB= 3 −1 ， BC= 3 +1 ， cos∠ABC=− 1 4

を満たしており，△ACDの面積は△ABCの面積の3倍であるとする。
　このとき，

cos∠DAO= シ ス

であるから，円Oの半径は

セソタ 11

となる。また，

AB= チ ， sin∠ABC= ツテ ト

で， CA=ナ  である。さらに，四面体ABCDの体積は

ニヌ ネ

となる。

第3問　（選択問題）　（配点　20）

　10項からなる二つの数列

2，4，6，8，10，12，14，16，18，20
2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024

を横と縦にならべる。それぞれの数列から項を一つずつ選び，積を表にする。次にはその一部が書かれている。

(1)

太枠内の一番上に現れる数の和4＋8＋…＋40ほ  アイウ  である。

(2)

太枠内の一番左に現れる数の和4＋8＋…＋2048は  エオカキ  である。

(3)

太枠内に現れるすべての数の和は  クケコサシス  である。

(4)

太枠内の左上から右下に向かう対角線の部分に現れる数の和をS とすると 　　

S−2S=2·2+2· 2 2 +2· 2 3 +⋯2· 2 セソ −20· 2 タチ

が成り立つので，S＝ ツテトナニ  である。

　　

第4問　（選択問題）　（配点　２０）

　三角形ABCの外心をOとし，点Gは，外接円OのAを含まない弧BC上を 動くとする。Gから直線AB，BC，CAに垂線をひき，AB，BC，CAとの交点 をそれぞれD，E，Fとする。∠A≦90°の場合に3点D，E，Fの位置関係を 調べよう。次の文章中のア〜シとセ〜チについては，A〜Gのうちから当てはま る文字を選べ。ただし，アとウ，エとカ，キとケ，コとシ，セとソは，それぞれ 解答の順序を問わない。
　まず，∠Aは鋭角とする。4点G，E，B，Dは，

∠GDB＝∠ アイウ ＝90°

であるから，同一円周上にあり，したがって

∠BED＝∠ エオカ           ・・・・・・(1）

同じようにして，4点G，C，F，Eも同一円周上にあるので

∠CEF＝∠ キクケ

さらに，四辺形ABGCは円Oに内接するから

∠DBG＝∠GCF          ・・・・・・(2）

これと ∠BDG＝∠GFC＝90°から△BGD ∽ △CGFとなり

∠BGD＝∠CGF          ・・・・・・（3）

〈1〉，(2)，(3）から ∠BED＝∠ コサシ  が成り立つ。したがって，∠DEF＝180°となり，D，E，Fは一直線上にある。

　次に∠Aが直角の場合を考える。このとき，四辺形ADGFは  ス  であ る。ただし， ス  には，次の 〜 の中から最もふさわしいものを選ベ。

正方形

長方形

ひし形

平行四辺形

したがって，DF＝ セソ  である。DFが最大になるのはAGが円Oの直径に なるときで，このとき点D，Fは点 タ ， チ  にそれぞれ一致する。また，このとき点Eは線分BCを  ツ  に内分する。 ツ  には下の 〜 の 中から当てはまるものを一つ選ベ。

AB:AC	AC:AB	AB 2 : AC 2
AC 2 : AB 2	AB·AC: BC 2	BC 2 :AB·AC

　　

第5問　（選択問題）　（配点　20）

　自然数Aに対して，次のような処理を行うプログラムを作った。なお，Aのけた 桁数を n とする。
　処理〈a）  A 2 の下n桁がAと等しいかどうかを調べ，等しいときは次の処理（b）に進み，異なるときは文字Fを表示し処理(b〉を行わない。
（例：A＝76のとき， A 2 ＝5776の下2桁が76と等しいので，処理(b)を行う。）
　処理(b） n+1 桁の自然数Bで下 n 桁がAと等しく， B 2 の下 n+1 桁が等しいものを求める。ただし，そのようなBが存在しないときは0を表示する。
（例：A＝76のとき，B＝376は上の性質を満たす。実際，376は下2桁が76と等しく， B 2 ＝141376の下3桁が376と等しい。）
以下のプログラムにおいて，INT(X)はXをこえない最大の整数をあらわす。

100		INPUT "A="；A
110		C = 10
120		IF A/C <1 THEH GOTO 150
130		C = C*10
140		GOTO 120
150		E = A*A - A
160		IF INT(E/C) = E/C THEN G0T0 190
170		PRINT "F"
180		G0TO 260
190		B = 0
200		F0R D = 1 T0 9
210		G = D*C + A
220		E = (G*G - G)/C
230		IF INT(E/10) = E/10 THEN B = G
240		NEXT D
250		PRINT B
260		EHD

(1)

このプログラムを実行し，A = ？に対して2を入力すると  ア  行により   イ  と出力され，5を入力すると  ウエ  と出力される。 　また，このプログラムにおいて，  オ  行から  カ  行まではAの桁数 を調べている。そして， キ  行から  ク  行までが処理(a)に， ケ   行から  コ  行までが処理(b)に対応している。ただし，上の  イ  と 　  ウエ  以外の解答欄については，次の 〜 の中から最もふさわしいものを一つずつ選ベ 。 <

110	130	140	150
170	180	190	250

(2)

A = ？に対して376を入力すると，130行は  サ  回実行される。

(3)

このプログラムにおいて，210行が実行されるとき，変数Cを A の桁数 n を使って表すと  シ  に等しい。ただし，  シ  については次の 〜 の中から適当なものを一つ選ベ。 <

n	n+1	10n	10( n+1 )
10 n	10 n+1