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出題校：センター試験 2002年度 追試験 数学ＩＩ・数学B 解答 第1問 （必須問題） （配点 30）
- [1]
-
a は
−2≦a≦2
を満たす定数とする。二つの角
x ，
y は
cosx−cosy=a
・・・・・・
 を満たしながら。
0°≦x≦180°
，
0°≦y≦180°
・・・・・・
 の範囲を動くものとする。このとき
s=sinx+siny
・・・・・・ の最大値を求めよう。
とから
s 2 + a
2 =ア
+イ cos(
x+y )
を得る。とを満たす
x ，
ｙ で，
cos( x+y
)=−1
となるものがあれば，
s の最大値は
ウ −
a 2
である。このような
x ，
ｙ があることを示そう。の範囲で
cos( x+y
)=−1
となるのは
x+y=エオカ
° のときである。このとき
cosx+cosy=キ
であり，と合わせて
cosx= ク
ケ
，
cosx= コサ
シ
となる。これを満たす
x ，
ｙ は存在する。 -
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| 解答 | | |
- [2]
-
座標平面において
2 log 7 x−
log 7 y−3=0
により表される図形を
C とし
log 7 x−
log 7 y−a=0
により表される図形を
a とする。 - (1)
-
C は曲線
y= 7 スセ
x ソ
の
x>0 の部分であり，
L は直線
y= 7 タチ
x の
x>0 の部分である。
- (2)
-
C と
L の交点は
( 7 ツ
−テ
, 7 ト
−ナニ
) である。 - (3)
-
7 ツ
−テ
≦x の範囲において，
C と
L ，および直線
x= 3 2
· 7 ツ
−テ
によって囲まれた部分の面積を
T( a )
とすると
T( a )=
7 ヌ
−ネノ
ハ
- (4)
-
log 7 T(
a )≤0
となる最小の整数
a は
ヒ である。
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| 解答 | |
| 第2問 （必答問題） （配点 40）
Oを原点とする座標平面において，2点A
( 1,0
) ，B
( −1,0
) をとる。次の二つの曲線
C 1 ，
C 2 を考える。
C 1
:y=m x
2 +nx
C 2 :y=p
x 3 +q x
2 +rx
ここで
C 1 は2点O，Aを通り，
C 1 のOにおける接線の傾きは1である。また，
C 2 は3点O，A，Bを通り，
C 2 のOにおける接線の傾きは
a （
a>0 ）である。
- (1)
- このとき
m=アイ
，
n=ウ
であり
p=エオ
，
q=カ
，
r=キ
である。 - (2)
-
C 1 ，
C 2 の交点の
x 座標は
x=0,ク
, ケ
コ
−サ
である。したがって，
C 1 ，と
C 2 が
0<x<1
において交わるような
a の値の範囲は
シ
ス
<a<セ
である。 - (3)
-
a は
0<a<1
を満たすとする。
C 1 のAにおける接線を
ℓ 1 とすると，
ℓ 1 の方程式は
y=ソ
x+タ
である。
C 2 のOにおける接線を
ℓ 2 で囲まれた部分の面積は
チ
ツ (
タ −1
) である。また，
x 軸と
C 1 で囲まれた部分の面積は
ト
ナ
である。
ℓ 2 と
C 1 で囲まれた部分の面積を，
S 1 とし，
ℓ 1 ，
ℓ 2 および
C 1 の三つで囲まれた部分の面積を
S 2 とする。
S 1 = S
2 となるのは
a= ニ
ヌ
のときである。 | | | |
| 解答 | | |
| 第3問 （選択問題） （配点 20） 平面上の3点Ｏ，Ａ，Ｂが
| OA
⟶ +
OB ⟶
|=|
2 OA
⟶ +
OB ⟶
|=|
OA ⟶
|=1
を満たしているとする。 - (1)
-
OA ⟶
と
OＢ ⟶
の内積は
OA ⟶
· OB
⟶ =−
ア
イ
である。また，
| OB
⟶ |=
ウ
である。したがって，
| OB
⟶ |=
エ
となる。 - (2)
- 三角形ＯＡＢの面積は
オ
カ
である。また，Oから辺ABに下ろした垂線の長さは
キク
ケコ
である。
- (3)
- 点Pが背面上を
| OP
⟶ |=|
OB ⟶
| を満たしながら動くとき，三角形PABの面積
S の最大値を求めよう。PからABに下ろした垂線の長さの最大値は
サ
( 1+
シ
スセ
) であるから，
S の最大値は
ソ
−2 タチ
ツ
である。 | | | |
| 解答 | | |
| 第4問 （選択問題） （配点 ２０） 複素数平面上の3点
A( α )
，
B( β )
，
C( γ )
について，
AB:AC=
3 :6 ，
∠BAC=30°
が成り立っているとする。また，
ω=−4α+6β−γ
で表される点を
D( ω )
とおく。 - (1)
-
z= ω−α
γ−α
とするとき，
z+1 の絶対値と偏角はそれぞれ
| z+1
|= ア
，
arg( z+1
)=±イウ
° なので
z+1= エ
オ
± カ
キ
i である。したがって，
| z |=ク
，
arg=±ケコ
° である。 - (2)
- 三角形ABCと三角形ACDの面積比は
△ABC：△ACD
=1:サ
である。 - (3)
-
α=1 ，
β=0 のとき
r=シス
+ セ
i ，
ω=ソタ
− チ
i または
r=シス
− セ
i ，
ω=ソタ
+ チ
i である。 | | | |
| 解答 | | |
| 第5問 （選択問題） （配点 20）
5枚の赤いカードに，2，3，4，5，6という数がそれぞれ一つずつ書いてあり，5枚の青いカードにも，7，8，9，10，11という数がそれぞれ一つずつ書いてある。
赤いカードのうちから1枚，青いカードのうちから1枚引いて，書かれてある数をそれぞれ
X ，
Y として確率変数
X ，
Y を定め，
Z=2X+Y
として確率変数
Z を定める。 - (1)
-
X が素数になる確率は
ア
イ
であり，
Z が素数になる確率は
ウ
エ
- (2)
-
Z が素数になるという条件のもとで，
X が素数になる条件つき確率は
オ
カ
であり，
Z が素数になる条件つき確率は
キ
クケ
である。 - (3)
-
X が素数になるという事象と
Z が素数になるという事象は
コ。
Y が素数になるという事象と
Z が素数になるという事象は
サ 。
コ ，
サ に適するものを，次の 〜 のうちから一つずつ選べ。
- (4)
-
X の平均（期待値）は
シ であり，分散は
ス である。
- (5)
-
Z の平均は
セソ
であり，分散は
タチ
である。
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| 解答 | |
| 第6問 （選択問題） （配点 20） 長さが19cmの材料がある。この材料を切って長さ7cm，6cm，4cmの
3種類の製品をいくつか作りたい。ただし，3種類の製品の中で作られないもの があってもよい。材料の残りを調べるために，次のプログラムを考えた。
| 100 | | L=19 |
| 110 | | A = 7 : B =6 : C = 4 |
| 120 | | MI = L |
| 130 | | AN = INT(L/A) | | 140 | | BN = INT(L/B) |
| 150 | | FOR IA = 0 TO AN |
| 160 | | FOR IB = 0 TO BN |
| 170 | | US = A * IA + B * IB |
| 180 | | IF US > L THEN GOTO 240 |
| 190 | | IC = INT((L-US)/C) |
| 200 | | RE L - US - C * IC |
| | | | 230 | | PRINT IA, IB, IC,
RE | | 240 | | NEXT IB |
| 250 | | NEXT IA |
| 260 | | END | 注意：INT(X)は，Xを越えない最大の整数を表す閑数である。
- (1)
- プログラムを実行させると，変数AN，BNにはそれぞれ
ア ，
イ が
代入される
- (2)
- プログラムの実行によって，出力される行数は
ウ 行であり，その最初
と3番目の行は，それぞれ
エ
オ
カ
キ と
ク
ケ
コ
サ である。 - (3)
- 材料の残りが少なくなるような切り方を調べるために，次の2行を200行と 230行の間に挿入した。
| 210 | | IF RE > MI THEN GOTO 240 |
| 220 | | MI = RE | この結果，出力される行数は，
シ 行となり，最後に出力されるのは
ス
セ
ソ
タ である。この切り方によると，材料の残りは
チ cmである - (4)
- で挿入した210行，220行の2行と同じ処理を意味するものは
ツ で
ある。
ツ に適するものを，次の
〜
 のうちから一つ選ベ。
| 210 | | IF RE <=MI THEN MI = RE |
| 220 | | GOTO 240 |
 | 210 | | IF RE <MI THEN MI = RE |
| 220 | | GOTO 240 |
| 210 | | IF RE <=MI THEN MI = RE ELSE GOTO 240 |
| 210 | | IF RE <MI THEN MI = RE ELSE GOTO 240 |
| | | |
| 解答 | |
