センター試験 2002年度 追試験 数学II,数学B
 入試問題解説最終更新日 2003年6月2日
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出題校:センター試験 2002年度 追試験 数学II・数学B 解答

第1問 (必須問題) (配点 30)

[1]
  a  は 2a2 を満たす定数とする。二つの角 x y

cosxcosy=a           ・・・・・・

を満たしながら。

0°x180° 0°y180°           ・・・・・・

の範囲を動くものとする。このとき

s=sinx+siny           ・・・・・・

の最大値を求めよう。

から

s 2 + a 2 = + cos( x+y )

を得る。を満たす x で, cos( x+y )=1 となるものがあれば, s の最大値は

a 2

である。このような x があることを示そう。の範囲で

cos( x+y )=1

となるのは

x+y=エオカ °

のときである。このとき

cosx+cosy=

であり,と合わせて

cosx= cosx= コサ

となる。これを満たす x は存在する。

 
解答
[2]
座標平面において

2 log 7 x log 7 y3=0

により表される図形を C とし

log 7 x log 7 ya=0

により表される図形を a とする。

(1)
  C は曲線 y= 7 スセ x x>0 の部分であり, L は直線 y= 7 タチ x x>0 の部分である。
(2)
  C L の交点は

( 7 , 7 ナニ )

である。

(3)
7 x  の範囲において, C L ,および直線

x= 3 2 · 7

によって囲まれた部分の面積を T( a ) とすると

T( a )= 7 ネノ

(4)
  log 7 T( a )0 となる最小の整数 a は   である。
解答

第2問 (必答問題) (配点 40)

Oを原点とする座標平面において,2点A ( 1,0 ) ,B ( 1,0 ) をとる。次の二つの曲線 C 1 C 2 を考える。

C 1 :y=m x 2 +nx C 2 :y=p x 3 +q x 2 +rx

ここで C 1 は2点O,Aを通り, C 1 のOにおける接線の傾きは1である。また, C 2 は3点O,A,Bを通り, C 2 のOにおける接線の傾きは a a>0 )である。

(1)
このとき

m=アイ n=

であり

p=エオ q= r=

である。

(2)
  C 1 C 2 の交点の x  座標は

x=0, ,

である。したがって, C 1 ,と C 2 0<x<1 において交わるような a の値の範囲は

<a<

である。

(3)
  a 0<a<1 を満たすとする。 C 1 のAにおける接線を 1 とすると, 1 の方程式は

y= x+

である。 C 2 のOにおける接線を 2 で囲まれた部分の面積は

( 1 )

である。また, x  軸と C 1 で囲まれた部分の面積は

である。
  2 C 1 で囲まれた部分の面積を, S 1 とし, 1 2 および C 1 の三つで囲まれた部分の面積を S 2 とする。 S 1 = S 2 となるのは

a=

のときである。

 
解答

第3問 (選択問題) (配点 20)

 平面上の3点O,A,Bが

| OA + OB |=| 2 OA + OB |=| OA |=1

を満たしているとする。

(1)
  OA OB の内積は

OA · OB =

である。また, | OB |=  である。したがって, | OB |=  となる。

(2)
 三角形OABの面積は  である。また,Oから辺ABに下ろした垂線の長さは キク ケコ  である。
(3)
 点Pが背面上を | OP |=| OB | を満たしながら動くとき,三角形PABの面積 S の最大値を求めよう。PからABに下ろした垂線の長さの最大値は

( 1+ スセ )

であるから, S の最大値は

2 タチ

である。

解答

第4問 (選択問題) (配点 20)

複素数平面上の3点 A( α ) B( β ) C( γ ) について, AB:AC= 3 :6 BAC=30° が成り立っているとする。また, ω=4α+6βγ で表される点を D( ω ) とおく。

(1)
  z= ωα γα  とするとき, z+1 の絶対値と偏角はそれぞれ

| z+1 |= arg( z+1 )=±イウ °

なので

z+1= ± i

である。したがって, | z |= arg=±ケコ ° である。

(2)
 三角形ABCと三角形ACDの面積比は

△ABC:△ACD =1:

である。

(3)
  α=1 β=0 のとき

r=シス + i ω=ソタ i

または

r=シス i ω=ソタ + i

である。

解答

第5問 (選択問題) (配点 20) 

5枚の赤いカードに,2,3,4,5,6という数がそれぞれ一つずつ書いてあり,5枚の青いカードにも,7,8,9,10,11という数がそれぞれ一つずつ書いてある。
 赤いカードのうちから1枚,青いカードのうちから1枚引いて,書かれてある数をそれぞれ X Y として確率変数 X Y を定め, Z=2X+Y として確率変数 Z を定める。

(1)
  X  が素数になる確率は であり, Z  が素数になる確率は
(2)
  Z  が素数になるという条件のもとで,
X  が素数になる条件つき確率は   であり,
Z  が素数になる条件つき確率は  クケ  である。
(3)
  X  が素数になるという事象と Z が素数になるという事象は  。   Y が素数になるという事象と Z  が素数になるという事象は   。
 に適するものを,次ののうちから一つずつ選べ。
 排反である      独立である      独立でない     
(4)
  X の平均(期待値)は   であり,分散は   である。
(5)
  Z の平均は  セソ  であり,分散は  タチ  である。

 

解答

第6問 (選択問題) (配点 20)

 長さが19cmの材料がある。この材料を切って長さ7cm,6cm,4cmの 3種類の製品をいくつか作りたい。ただし,3種類の製品の中で作られないもの があってもよい。材料の残りを調べるために,次のプログラムを考えた。 

 
100 L=19
110A = 7 : B =6 : C = 4
120MI = L
130AN = INT(L/A)
140BN = INT(L/B)
150FOR IA = 0 TO AN
160  FOR IB = 0 TO BN
170    US = A * IA + B * IB
180    IF US > L THEN GOTO 240
190    IC = INT((L-US)/C)
200    RE L - US - C * IC
230    PRINT IA, IB, IC, RE
240  NEXT IB
250NEXT IA
260END

注意:INT(X)は,Xを越えない最大の整数を表す閑数である。

(1)
プログラムを実行させると,変数AN,BNにはそれぞれ   ,  が  代入される
(2)
プログラムの実行によって,出力される行数は   行であり,その最初  と3番目の行は,それぞれ

     

     

である。

(3)
材料の残りが少なくなるような切り方を調べるために,次の2行を200行と 230行の間に挿入した。

 
210IF RE > MI THEN GOTO 240
220MI = RE

この結果,出力される行数は, 行となり,最後に出力されるのは

     

である。この切り方によると,材料の残りは   cmである

(4)
で挿入した210行,220行の2行と同じ処理を意味するものは   で ある。  に適するものを,次の  のうちから一つ選ベ。

210 IF RE <=MI THEN MI = RE
220GOTO 240
210IF RE <MI THEN MI = RE
220GOTO 240
210IF RE <=MI THEN MI = RE ELSE GOTO 240
210IF RE <MI THEN MI = RE ELSE GOTO 240

解答
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