金沢工業大学　2002年度
　大学入試問題 最終更新日 2004年3月31日
　
出題校：金沢工業大学　2002年度　数学（Ａ-1），数学（Ａ-2），数学（Ｂ）

解答（解答の作成は数学ナビゲーターが独自に作成したものです。間違いがあればoffice@crossroad.jpまで連絡願います)

数学(A-1)

[ 注意：設問 I の(1)から(6)の解答は Ｉ の解答マーク欄を使用してください ]

x  の2次方程式 x 2 −2( log 2 a )x+ log 2 ( 4a )=0  が異なる2つの実数解をもつための定数 a の条件は

ア <a< イ ウ   ,  a>エ

である．
Ｉ． （1）

tanθ=4  (0°<θ<90°)  のとき  3sinθ+8cosθ= オカ キク

（2）
複素数  z=1+ 3 i  に対して  z 6 =ケ コ  である．

（3）
ベクトル  a → =( 6,2 )  と  b → =( 2,t )  に対して  a → + b →  と  a → - b →  が 垂直であるとき  t= サ シ  である．
（4）
AB=2,BC= 3 ,C=90° である三角形ＡＢＣの角Ｂの2等分線が辺ＡＣと交わる点をＤとする．このとき， cos∠DBC= ス + セ ソ  であり， BD=タ チ − ツ  である． ただし， ス >セ  とする． 　
(5)
a>0 とする．放物線  y= x 2 −4ax+3 a 2  と x  軸とで囲まれる部分の面積が100のとき， a= テト 3 である． 　
(6)
（ I の解答マーク欄で使用する欄は ト までです）

 解答
[ 注意：設問 II の解答は ＩＩ の解答マーク欄を使用してください ]
a 1 =1, a 2 =7, a n+1 −7a     (n=1,2,3,⋯)  で定まる数列に  { a n }  に対して， b n = a n+1 − a n 　とおき， T n = ∫ a n a n+1 2xdx  とする．

II．
(1)   b n+1 =ア b n である．
(2)   b n =イ   ·   ウ n−1 である．
(3)   a 15 = エ オ カ  である。

(4)   T n =キ ク   ·   ケ コ n−サ  であり， T n+1 T n =シス  である。

(5)   ∑ k=1 n T k = セ 2n −ソ  である．
（ II の解答マーク欄で使用する欄は ソ までです）

 解答
[ 注意：設問 III の解答は ＩＩＩ の解答マーク欄を使用してください ]
ＩＩＩ． 黒石が6個，白石が4個入っている袋から1個を取り出す．それが黒石のときは白石を1個袋に入れ，白石のときは黒石を1個袋に中に入れて袋の中には常に10個の石が入っているようにする．この試行を3回繰り返す．
(1)  1回目に取り出した石が黒石である確率は    ア   イ  である．
(2)  1回目に取り出した石が黒石である確率は    ウ エ   オ カ  である．
(3)  取り出した石が3個とも黒石である確率は  キ   ク ケ    である．
(4)  3回のうち，少なくとも1回は白石である確率は    コ サ   シ ス  である．
(5)  3回目に取り出した石が黒石である確率は    セ ソ タ   250  である．
（ III の解答マーク欄で使用する欄は タ までです）
 解答
[以上問題終了]


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数学(A-2)

[ 注意：設問 I の(1)から(6)の解答は Ｉ の解答マーク欄を使用してください ]
I． (1) 公比が正である等比数列  { a n }  において a 3 =3, a 7 =243 であるとき  a 5 =ア イ  である．
(2) 3点  O( 0,0 ),A( 6,0 ),B( 5,8 )  を頂点とする△ＯＡＢの垂心の座標は  ( ウ   ,    エ   オ )  である．

| sinθ− 1 2 |=1( 0°≤θ≤270° )  を満たす θ  は θ=カ キ ク °  である． 　
(3)
log 2 ( x−2 )+log( x+2 )=−3  は x=    ケ コ    サ  である． 　
(4)
OA ⟶ =( 6,−a ) 　 と  OB ⟶ =( a,2 )  のなす角が 120° であるとき a=シ　ス セ で
△ＯＡＢの面積は ソ タ である．

(5)

複素数  z 1 = 3 ( 1+i ), z 2 = 2 ( 1+ 3 i )  に対して

| z 1 z 2 |=チ ツ      ,     arg( z 1 z 2 )=テ ト ナ ° 　

である．　ただし， 0°≤テ ト ナ ≤360° とする．
(6)
（ I の解答マーク欄で使用する欄は ナ までです）


 解答
[ 注意：設問 II の解答は ＩＩ の解答マーク欄を使用してください ]
II． 関数 f(x)= x 3 +a x 2 +bx+c  は x=2 で極値0をとり，曲線 y=f(x) は点 P( 0,12 ) を通る．このとき
(1)   a=ア イ    ,b=ウ エ   ,c=オ カ キ  である．

(2)  関数 f(x) は x=   ク    ケ で極承値    コ サ    シ ス をとる．

(3)  点Ｐを通る直線が点Ｐ以外の点Ｑで曲線 y=f(x) と接するとき点Ｑの座標は (   セ    ソ    ,    タ   チ ) である．
(4)  直線 y=mx−12 が y=f(x) と異なる3点で交わるような定数 m の値の範囲は    ツ テ   ト <m<ナ ニ   ,m>ナ ニ  である．

（ II の解答マーク欄で使用する欄は ニ までです）
 解答
[ 注意：設問 III の解答は ＩＩＩ の解答マーク欄を使用してください ]
III．

2つの円

x 2 + y 2 −4x=0 ・・・ ① 　

x 2 + y 2 −16x−2by+16b=0  ・・・ ②

について　
(１)   b=3 のとき，円①と②の中心距離は  ア イ  である．

(2)   b=3 のとき，円①と②の交点間の距離は    ウ    エ オ  である．
(3）   b= カ    キ    のとき，円②は①の中心を通る．

(3）   b=ク  のとき，円①は②に内接し， b=    ケ コ   サ のとき，円①と②は外接する．

（ IＩI の解答マーク欄で使用する欄は サまでです）

 解答
[以上問題終了]

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数学(B)

[ 注意：設問 I の(1)から(6)の解答は Ｉ の解答マーク欄を使用してください ]
x 3 = y 4 = z 5 のとき， xyz x 3 + y 3 + z 3 =    ア     イ ウ   である．　
I． （1）
放物線 y= x 2 上の2点 P( 3,9 ),Q( a, a 2 ) に対して，点Ｑにおける放物線の接線と直線ＰＱが直交するならば， a=    エ オ± カ    キ 　である．
(2)
円  x 2 + y 2 −4x−21=0  と直線  y=−x+3 の共有点の間の距離は  ク ケ  である．　
(3)
( 1 2 x−2y ) 2 の展開式において  x 5 y 3  の係数は  コ サ シ  である．　
(4)
(5) 2つのサイコロを同時に投げるとき，少なくとも一方が1の目である確率は    ス セ   ソ タ  である．　
(6)

AB=2,AC=3,A=60°  である△ＡＢＣについて，

log 3 sinC+ log 3 cosA− log 3 sinB=ツ チ

である．
（ I の解答マーク欄で使用する欄は ツ までです）

 解答
[ 注意：設問 II の解答は ＩＩ の解答マーク欄を使用してください ]
II．

関数 f(x)

{ x<0 のとき f(x)=−2 x 2 −5x x≥0 のとき f(x)= x 2 −3x

で与えられる関数とし，曲線  y=f(x)  ・・・ ① と直線  y=mx  ・・・ ② を考える．
(1)  関数  f(x)  は x=   ア イ   ウ で極大値   ｖエ オ    カ を，　x=   キ   ク で極大値   ケ コ    サ をとる．
(2) 直線 ② と曲線 ① と原点以外の2点で交わるような m の値の範囲は m>シ ス  である。
(3) m の値が (2) の範囲内にあるとき，
(i) 直線 ② と曲線 ① の交点で原点以外のものの  x  座標は，小さいほうから順に， −m−セ   ソ ， m+タ である．
（ｉｉ） 曲線 ① と直線 ② で囲まれた2つの部分の面積が等しくなるような m の値は   チ ツ 4 3 +テ    4 3 −1 である．
（ IＩ の解答マーク欄で使用する欄は テ までです）

 解答
[ 注意：設問 III の解答は ＩIＩ の解答マーク欄を使用してください ]
i  を虚数単位として， z n = 2 2( n−1 ) ( 2 + 2 i )     ( n=1,2,3⋯ )  とおく．　
III．

(1)    | z 1 |=ア である．
(2)   log 2 | z 1 z 2 z 3 |=イ  である．

(3)   log| z 1 z 2 ⋯ z n |= ウ エ  である．
(4)   ∑ k=1 n k log 2 = 1 オ n( n+1 )( カ n−キ )  である．　
(5)   | z 2n z 2n−1 |=ク  であり， log 2 | z 2 z 1 z 4 z 3 ⋯ z 2n z 2n−1 |=ケ コ  である．

（ III の解答マーク欄で使用する欄は コまでです）

[以上問題終了]

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