 | 先に結論を書いておきます
そのあとに幅ひろく通用する導出過程を記しておきます
長くなるのでここのページでは結果だけとします
α=√21, ε=(5+α)/2, s=19+9α, t=2+8α,
Kを有理数体にαを添加して得られる体とし,
有理整数環ZのKにおける整閉包をAとする.
KはQ上のベクトル空間として基底{1,α}を持つので
各w∈Kに対して,w=p+qαを満たすp,q∈Qが一意的に取れるが
f(w)=p, g(w)=q によりKからQへの関数f,gを定める.
x,yが問題の方程式を満たす整数であるとき,
以下の(1)-(4)のいずれかが成立し,また逆も成立する:
(1)
ある整数nが存在して
u=f(sε^n), v=g(sε^n) とおくと
x = (23+u)/21
y = (-x-v-9)/4
このとき,n≡0(mod 6)
(2)
ある整数nが存在して
u=f(tε^n), v=g(tε^n) とおくと
x = (23-u)/21
y = (-x-v-9)/4
このとき,n≡4(mod 6)
(3)
ある整数nが存在して
u=f(sε^n), v=g(sε^n) とおくと
x = (23+u)/21
y = (-x+v-9)/4
このとき,n≡2(mod 6)
(4)
ある整数nが存在して
u=f(tε^n), v=g(tε^n) とおくと
x = (23-u)/21
y = (-x+v-9)/4
このとき,n≡2(mod 6)
(3),(4)はn≡2(mod 6)の部分は同じだが
u,vの取り方とx,yの対応の仕方が異なる
念の為,小さい解をいくつか求めてみる
(1)のパターンから導かれる解:
n= 0 とすれば
(u,v)=(19,9) より (x,y)=(2,-5)
n= -6 とすれば
(u,v)=(-134549,29361) より (x,y)=(-6406,-5741)
n= 6 とすれば
(u,v)=(364411,79521) より (x,y)=(17354,-24221)
(2)のパターンから導かれる解:
n=4 とすれば
(u,v)=(10187,2223) より (x,y)=(-484,-437)
n= -2 とすれば
(u,v)=(-397,87) より (x,y)=(20,-29)
(3)のパターンから導かれる解:
n=2 とすれば
(u,v)=(691,151) より (x,y)=(34,27)
(4)のパターンから導かれる解:
n=2 とすれば
(u,v)=(443,97) より (x,y)=(-20,27)
勿論きりがないので具体的を挙げるのはこれで終わりとします
解の表現としては整数係数の漸化式で与える方法もありますが
すでに構成した表現から漸化式を得るの難しくないでしょう
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