 | a+b+c=p, ab+bc+ca=qとおくと
a^2+b^2+c^2=1 から p^2-2q=1
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c){a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)}=1 から
p(1-q)=1
q=1-1/p
p^2-2q=1に代入して
p^2-2(1-1/p)=1
p^2-3+2/p=0
p^3-3p+2=0
(p+2)(p-1)^2=0
p=1,-2
q=1-1/pから
p=1のときq=0
p=-2のときq=3/2
(p,q)=(-2,3/2)のとき
a+b+c=-2,ab+bc+ca=3/2
このときa,b,cは三次方程式
x^3+2x^2+(3/2)x+k=0
の3解だが
{x^3+2x^2+(3/2)x+k}'=3x^2+4x+3/2=3(x+2/3)^2+1/6＞0から
実数解一つ、虚数解二つなので不適。
(p,q)=(1,0)のとき
a+b+c=1,ab+bc+ca=0
このときa,b,cは三次方程式
x^3-x^2+k=0
の3解。この三次方程式は0≦k≦4/27のときすべての解が実数解となる。
この三次方程式を解いて、a,b,cは
t+√(t(2-3t)), t-√(t(2-3t)), 1-2t （順不同）
ただし1/6≦t≦1/2
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