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■50387 / inTopicNo.1) 　有理数
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□投稿者/ たわし 一般人(1回)-(2020/06/30(Tue) 12:41:34)
    以下の問題の解き方を教えてください。
    (1)正の有理数aとbがa^2=b^3を満たしているとき、aは有理数の3乗でbは有理数の平方であることを示せ。
    (2)正の有理数cとdがc^3=d^5を満たしているとき、cは有理数の5乗でdは有理数の3乗であることを示せ。

    自身の考え方は
    (1)はa^2=b^3=x^6となる有理数xがあればa=x^3、b=x^2となる。
    (2)はc^3=d^5=y^15となる有理数yがあればc=y^5、d=y^3となる。
    なのですが、そもそもxとyの存在が示せませんでした。

    よろしくお願いします。
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■50389 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 有理数
□投稿者/ WIZ 一般人(3回)-(2020/07/01(Wed) 12:16:59)
    (1)
    b > 0 なので a^2 = b^3 の両辺を b^2 で割ると (a^2)/(b^2) = b です。
    よって b = (a/b)^2 となり、b は有理数 a/b の平方です。

    a^2 = b^3 の両辺に a を掛けると a^3 = (b^3)a です。
    両辺を b^3 で割ると (a^3)/(b^3) = a です。
    よって a = (a/b)^3 となり、a は有理数 a/b の3乗です。

    つまり、スレ主さんの方法だと x = a/b ですね!

    (2)
    c^3 = d^5 の両辺を2乗すると c^6 = d^10 です。
    c > 0 なので両辺を c^5 で割ると c = (d^10)/(c^5) = ((d^2)/c)^5 です。
    よって c は有理数 (d^2)/c の5乗です。

    d > 0 なので c^6 = d^10 の両辺を d^9 で割ると (c^6)/(d^9) = d です。
    よって d = ((c^2)/(d^3))^3 となり、d は有理数 (c^2)/(d^3) の3乗です。

    (d^2)/c と (c^2)/(d^3) は異なるように見えますが、実は
    (d^2)/c = ((d^2)(c^3))/(c(d^5)) = (c^2)/(d^3)
    と同じ値です。
    つまり、スレ主さんの方法だと y = (d^2)/c とすれば良いですね!
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