数学ナビゲーター掲示板

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■50408 / inTopicNo.1) 　無限和
  ▼■
□投稿者/ ai 一般人(1回)-(2020/07/12(Sun) 16:28:28)
    こちらの問題解ける方、お願いします
336×196 => 250×145

1594538908.png/17KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■50415 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 無限和
□投稿者/ WIZ 一般人(4回)-(2020/07/21(Tue) 19:12:47)
    s(x) = Σ[n=0, ∞]{x^(3n)} とおくと、等比級数の和より
    s(x) = lim[n→∞]{(1-x^(3(n+1)))/(1-x^3)} です。
    よって、|x| < 1 ならば、s(x) = 1/(1-x^3) となります。

    F(x) = ∫s(x)dx = Σ[n=0, ∞]{(x^(3n+1))/(3n+1)} とおきます。
    すると、求める無限和の値は -lim[x→-1]F(x) となります。

    F(x) = ∫{1/(1-x^3)}dx
    = (1/3)∫{1/(1-x)+(2+x)/(1+x+x^2)}dx
    = (1/3)∫{1/(1-x)}dx+(1/3)∫{((1/2)(1+2x)+(3/2))/(1+x+x^2)}dx
    = -(1/3)log(|x-1|)+(1/6)log(|1+x+x^2|)+(1/2)∫{1/(3/4+(x+1/2)^2)}dx

    x+1/2 = ((√3)/2)u とおくと、dx = ((√3)/2)du なので、上記最後の積分は

    (1/2)∫{1/(((√3)/2)^2+((√3)u/2)^2)}((√3)/2)du
    = (1/√3)∫{1/(1+u^2)}du
    = (1/√3)arctan(u)
    = (1/√3)arctan((2x+1)/√3)

    よって、
    -lim[x→-1]F(x)
    = -lim[x→-1]{-(1/3)log(|x-1|)+(1/6)log(|1+x+x^2|)+(1/√3)arctan((2x+1)/√3)}
    = (1/3)log(|(-1)-1|)-(1/6)log(|1+(-1)+(-1)^2|)-(1/√3)arctan((2*(-1)+1)/√3)
    = (1/3)log(2)-(1/6)log(1)-(1/√3)arctan(-1/√3)
    = (1/3)log(2)+(1/√3)(π/6)

    計算間違いしているかも知れませんので、スレ主さんの方でよく検算してみてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■50416 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 無限和
□投稿者/ らすかる 一般人(1回)-(2020/07/21(Tue) 19:16:20)
    ↓こちらによると
    ttps://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28-1%29%5En%2F%283n%2B1%29%2Cn%3D0+to+inf&lang=ja
    解はlog2/3+π/(3√3)らしいです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/


トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ
Mode/　 Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター