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■50441 / inTopicNo.1) 　複素数の関数
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□投稿者/ 高校3年生 一般人(1回)-(2020/08/13(Thu) 20:59:03)
    虚部が正の複素数の集合をHとする。
    aを実数の定数とし、z∈Hに対し関数f(z)を
    f(z)=(z+a)/(2z+1)
    と定める。
    f(z)の値域がHの部分集合となるとき
    f(z)の値域はH自身であることを
    教えてほしいので、よろしくお願いします。
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■50442 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 複素数の関数
□投稿者/ WIZ 一般人(5回)-(2020/08/14(Fri) 09:27:02)
    問題文は合ってますか?

    「z∈Hに対し関数f(z)を〜」は f(z) の定義域は H 全体、
    「f(z)の値域がHの部分集合」は z が H 全体を動いても常に f(z) の虚部が正ということですよね?

    i を虚数単位、x, y を実数、y > 0 として z = x+yi とおきます。

    f(z) = (z+a)/(2z+1)
    = ((x+yi)+a)/(2(x+yi)+1)
    = {((x+a)+yi)((2x+1)-yi)}/{(2x+1)+yi)((2x+1)-yi)}
    = {((x+a)(2x+1)+y^2)+((2x+1)y-(x+a)y)i}/{(2x+1)^2+y^2}
    = {(2x^2+(2a+1)x+a+y^2)+(xy+(1-a)y)i}/{(2x+1)^2+y^2}

    f(z) ∈ H である為には、(xy+(1-a)y)/{(2x+1)^2+y^2} > 0 となることが必要です。
    y > 0 かつ 1/{(2x+1)^2+y^2} > 0 だから x+1-a > 0 でなければなりません。
    つまり、x > a-1 という制限がついてしまい、z = x+yi が H 全体を動くことができません。
    従って、題意を満たす関数 f(z) は存在しないということになります。
    # a = -∞ なら x は実数全体を動けるなんていうオカルト数学的なオチじゃないですよね?

    題意の f(z) が存在しないならば、その値域をどの様に解釈しても矛盾はしません。
    だから、「f(z) の値域が H の部分集合なら、それは H 自身である」という言明は数学的に真でも偽でも良い訳です。
    なので、上記言明は真であると結論した、ということでしょうか?
    高校数学なら出題者がそんな結論を期待しているとは思えないので、やはり問題文が間違っていると思います。

    # 勘違い、計算間違いしていたらごめんなさい!
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■50445 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 複素数の関数
□投稿者/ 高校3年生 一般人(2回)-(2020/08/14(Fri) 09:45:24)
    = ((x+yi)+a)/(2(x+yi)+1)
    = {((x+a)+yi)((2x+1)-yi)}/{(2x+1)+yi)((2x+1)-yi)}
    ここは
    = ((x+yi)+a)/(2(x+yi)+1)
    = {((x+a)+yi)((2x+1)-2yi)}/{(2x+1)+2yi)((2x+1)-2yi)}
    ではないでしょうか？
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■50446 / inTopicNo.4) 　Re[1]: 複素数の関数
□投稿者/ 黄桃 一般人(1回)-(2020/08/14(Fri) 09:55:30)
    素朴にやってできると思います。

    z=x+yi として、f(z)を（分母の共役を分子分母にかけて） fr(x)+fi(y)i の形に書けば、
    「f(z)の値域がHの部分集合となる」は
    y>0 ならば　fi(y)>0
    といってますから、まずこの条件(*)を求めます。

    この時に、f(z)の値域がH全体になることをいうのですが、この場合は逆写像gが簡単に求まるのでそれを使えば楽でしょう。
    つまり、w=f(z) をzについて解いて、z=g(w)　としたとき、
    w∈H なら、z∈H がいえれば w∈Hについてw=f(z)となるz∈Hがあることがわかったので、証明終です。
    それには、w=a+bi,g(a+bi)=gr(a)+gi(b)i とするとき、(*)かつ b>0 なら gi(b)>0がいえればOKです。

    参考までに、手元の計算では、(*)は a<1/2 となりました。

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■50447 / inTopicNo.5) 　Re[1]: 複素数の関数
□投稿者/ WIZ 一般人(6回)-(2020/08/14(Fri) 11:26:15)
    > = {((x+a)+yi)((2x+1)-2yi)}/{(2x+1)+2yi)((2x+1)-2yi)}
    > ではないでしょうか？

    確かに! 計算間違いして、その後ダラダラ御託を書いてしまい申し訳ありません!

    {((x+a)+yi)((2x+1)-2yi)}/{(2x+1)+2yi)((2x+1)-2yi)}
    = {((x+a)(2x+1)+2y^2)+((2x+1)y-(x+a)(2y))i}/{(2x+1)^2+(2y)^2}
    = {(2x^2+(2a+1)x+a+2y^2)+(y-2ay)i}/{(2x+1)^2+(2y)^2}

    より、1-2a > 0 つまり 1/2 > a であることと、
    「f(z) の値域が H の部分集合なら、それは H 自身である」であることは同値ですね。
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■50449 / inTopicNo.6) 　Re[2]: 複素数の関数
□投稿者/ 高校3年生 一般人(3回)-(2020/08/14(Fri) 16:48:52)
    お二人とも有難うございます。
    >逆写像gが簡単に求まるのでそれを使えば楽
    たしかに言われてみたらそうでした。
    難しく考えすぎていました。
解決済み!
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