 | どちらも成り立たないと仮定すると
x+y+z≧xyz かつ x^2+y^2+z^2＜xyz
を満たす(x,y,z)が存在することになる。
これが成り立つならば、x,y,zすべて絶対値をとって正にしても成り立つので、
x,y,zが正で成り立つものが存在しないことが言えれば十分。
よってx,y,zは正と仮定する。
三変数の相加相乗平均から
x^2+y^2+z^2≧3[3]√(x^2y^2z^2)=3(xyz)^(2/3)
なので
xyz＞x^2+y^2+z^2≧3(xyz)^(2/3)
xyz＞3(xyz)^(2/3) を解くと xyz＞27 … (1)
x+y+z≧xyz かつ x^2+y^2+z^2＜xyz から
x^2+y^2+z^2＜x+y+z
整理して
(x-1/2)^2+(y-1/2)^2+(z-1/2)^2＜3/4
3/4＜1なので、少なくとも
(x-1/2)^2+(y-1/2)^2+(z-1/2)^2＜1
が成り立たなければならない。
このとき0＜x＜3/2かつ0＜y＜3/2かつ0＜z＜3/2となるが、
これは(1)を満たさないので矛盾。
従ってx+y+z≧xyz かつ x^2+y^2+z^2＜xyz
を満たす(x,y,z)は存在しないので、
x+y+z＜xyz または x^2+y^2+z^2≧xyz
が常に成り立つ。
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