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■50615 / inTopicNo.1) 　大学数学 4次多項式 フェラーリの解法
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□投稿者/ yusuke 一般人(1回)-(2021/01/31(Sun) 23:39:30)
    4次多項式f(X)=X4+pX2+qX+rの根をw1,...,w4 とし、 t1= w1w4 +w2w3, t2= w1w3 +w2w4, t3= w1w2 +w3w4とおく。
    (1) t1, t2, t3 を根とする 3 次多項式 g(T ) を作り、その係数を f の係数 p, q, r で表せ。
    (2)フェラーリの解法で現れる f の 3 次分解式と、上の g(T) とを比べよ。
    (3) f の判別式 D(f) と、g の判別式 D(g) とを比べよ。
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■50807 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 大学数学 4次多項式 フェラーリの解法
□投稿者/ WIZ 一般人(3回)-(2021/05/28(Fri) 21:22:00)
    計算が煩雑になるので以下のように文字を変更します。
    f(x) = x^4+p(x^2)+qx+r = 0 の根を a, b, c, d とします。
    t = ad+bc, u = ac+bd, v = ab+cd とおきます。

    f(x) = 0 の根と係数の関係より、
    0 = a+b+c+d
    p = ab+ac+ad+bc+bd+cd
    -q = abc+abd+acd+bcd
    r = abcd
    です。

    (1)
    t+u+v = (ad+bc)+(ac+bd)+(ab+cd) = p

    tu = (ad+bc)(ac+bd) = aacd+abdd+abcc+bbcd
    tv = (ad+bc)(ab+cd) = aabd+acdd+abbc+bccd
    uv = (ac+bd)(ab+cd) = aabc+accd+abbd+bcdd
    ⇒ tu+tv+uv = abc(c+b+a)+abd(d+a+b)+acd(a+d+c)+bcd(b+c+d)
    = abc(-d)+abd(-c)+acd(-b)+bcd(-a)
    = -4abcd = -4r

    tuv = (aacd+abdd+abcc+bbcd)(ab+cd)
    = aaabcd+aabbdd+aabbcc+abbbcd+aaccdd+abcddd+abcccd+bbccdd
    = (aabbdd+aabbcc+aaccdd+bbccdd)+aaabcd+abbbcd+abcddd+abcccd
    = {(abd+abc+acd+bcd)^2-2abcd(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd(aa+bb+dd+cc)
    = {(-q)^2-2pr}+r((a+b+c+d)^2-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd))
    = q^2-2pr+r(0^2-2p)
    = q^2-4pr

    よって、
    g(z) = z^3-p(z^2)-4rz+(4pr-q^2)

    (2)
    x^4+p(x^2)+qx+r = 0
    ⇒ x^4 = -p(x^2)-qx-r
    ⇒ x^4+z(x^2)+(z^2)/4 = (-p(x^2)-qx-r)+z(x^2)+(z^2)/4
    ⇒ (x^2+z/2)^2 = (z-p)(x^2)-qx+((z^2)/4-r)

    上記右辺が完全平方、つまり右辺の x の2次式の判別式が0になるように z を定める。
    (-q)^2-4(z-p)((z^2)/4-r) = 0
    ⇒ q^2-(z-p)(z^2-4r) = 0
    ⇒ z^3-p(z^2)-4rz+(4pr-q^2) = 0

    よって、(1)で求めた g(z) と一致する。

    (3)
    判別式は2根の差の積の平方で、根の対象式となります。
    D(f) = {(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)}^2

    D(g) = {(t-u)(t-v)(u-v)}^2
    ここで、
    t-u = (ad+bc)-(ac+bd) = (a-b)(d-c)
    t-v = (ad+bc)-(ab+cd) = (a-c)(d-b)
    u-v = (ac+bd)-(ab+cd) = (a-d)(c-b)
    なので、
    D(g) = D(f)
    と言えます。
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