 | 2021/02/28(Sun) 12:27:32 編集(投稿者)
「整数係数多項式が有理数の範囲で因数分解されれば、整数の範囲で因数分解される」
という定理により
x^4+(a^2+1)(a+2)x-(a+3/4)(a^2+1)が有理数係数の二次式の積に因数分解できる
⇔
4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)が有理数係数の二次式の積に因数分解できる
⇔
4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)が整数係数の二次式の積に因数分解できる
となります。
4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)=(4x^2+bx+c)(x^2+dx+e) （b,c,d,eは整数）
とおいて右辺を展開すると
4x^4+(b+4d)x^3+(c+4e+bd)x^2+(be+cd)x+ce
b+4d=0, c+4e+bd=0からb=-4d, c=4d^2-4eなので代入して
4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)=(4x^2-4dx+4d^2-4e)(x^2+dx+e)
=4(x^2-dx+d^2-e)(x^2+dx+e)
aが整数のとき、元の式の定数項 -(a+3/4)(a^2+1)は整数にならないが
上記の分解では-e^2という整数になり矛盾するので不適。
4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)=(2x^2+bx+c)(2x^2+dx+e) （b,c,d,eは整数）
とおいて右辺を展開すると
4x^4+2(b+d)x^3+(2c+2e+bd)x^2+(be+cd)x+ce
2(b+d)=0, 2c+2e+bdからb=-d, c=d^2/2-e
cは整数なのでdは偶数でなければならない。よってd=2f（fは整数）として
4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)=(2x^2-2fx+2f^2-e)(2x^2+2fx+e)
=4x^4+4f(f^2-e)x+e(2f^2-e)
となるから
4(a^2+1)(a+2)=4f(f^2-e), -(4a+3)(a^2+1)=e(2f^2-e)
2式からeを消去して整理すると
(f^2-a^2-1){(a^2+1)(a+2)^2+f^2(a^2+f^2+1)}=0
(a^2+1)(a+2)^2+f^2(a^2+f^2+1)=0のときa=-2,f=0
このとき-(4a+3)(a^2+1)=e(2f^2-e)からe^2=-25となり不適
f^2-a^2-1=0のとき(f+a)(f-a)=1から解は(a,f)=(0,±1)となりa=0
逆にa=0のとき(与式)=(x^2-x+3/2)(x^2+x-1/2)となり条件を満たす。
よって条件を満たす整数aはa=0のみ。
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